Bab 1 Kinematika Dengan Analisis Vektor | Fisika Kelas XI | Erlangga | Kurtilas


BAB I

KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

PILIHAN GANDA

  1. Partikel bermassa 3 kg bergerak dengan kecepatan v = (2i + 7j) m/s. Jika kecepatan tersebut berubah menjadi v = -i + 3j dalam waktu 2 detik, maka percepatan rata-rata partikel adalah ….
    1. 0,5 m/s2
    2. 1,0 m/s2
    3. 1,5 m/s2
    4. 2,0 m/s2
    5. 2,5 m/s2

Jawaban  :

Jawaban : E

Diketahui :

v1 = (2i + 7j) m/s

v2= ( –i + 3j) m/s

t1= 0 s

t2 = 2 s

Ditanyakan :

Kecepatan rata – rata partikel ?

Jawaban :

\( a=\frac { dv }{ dt } \\ a=\frac { v2-v1 }{ t2-t1 } \\ a=\frac { \left( -i+3j \right) -\left( 2i+7j \right) }{ 2-0 } \\ a=\frac { \left( -3i-4j \right) }{ 2 } \\ \left| a \right| =\frac { \sqrt { { \left( -3 \right) }^{ 2 }+{ \left( -4 \right) }^{ 2 } } }{ 2 } \\ \left| a \right| =\frac { \sqrt { 9+16 } }{ 2 } \\ \left| a \right| =\frac { \sqrt { 25 } }{ 2 } \\ \left| a \right| =\frac { 5 }{ 2 } \\ \left| a \right| =2,5㎨ \)

  1. Posisi sebuah benda dinyatakan dengan persamaan: r = {7ti + (9t + 3t2)j} m. Setelah benda bergerak selama 2,5 sekon, kelajuannya menjadi ….
    1. 15 m/s
    2. 20 m/s
    3. 25 m/s
    4. 30 m/s
    5. 35 m/s

Jawaban  :

Jawaban : C

Diketahui :

r = {7ti + (9t + 3t2)j} m

Ditanyakan :

Kelajuan =?

Jawaban :

\( v=\frac { dv }{ dt } \\ v=7i+\left( 9+6t \right) j\\ v\left( t=2,5s \right) =7i+\left( 9+6.2,5 \right) j\\ v\left( t=2,5s \right) =7i+\left( 9+15 \right) j\\ v\left( t=2,5s \right) =7i+24j\\ \left| v\left( t=2,5s \right) \right| =\sqrt { { 7 }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 } } \\ \left| v\left( t=2,5s \right) \right| =\sqrt { 49+576 } \\ \left| v\left( t=2,5s \right) \right| =\sqrt { 625 } \\ \left| v\left( t=2,5s \right) \right| =25㎧ \)

  1. Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi:

r = (8t -4) i + (-3t2 + 6t) j

Semua besaran menggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataan berikut:

    1. Benda bergerak berubah beraturan
    2. Memiliki koordinat awal (-4, 0) m
    3. Setelah 1 s, perpindahannya 5 m
    4. Setelah 1 s, kecepatannya menjadi 8 m/s

Pernyataan yang berkaitan dengan gerak benda adalah ….

    1. (1), (2), dan (3)
    2. (1) dan (3)
    3. (1) dan (4)
    4. D.
    5. (2) dan (4)

Jawaban  :

Jawaban : D

Diketahui :

r = (8t -4) i + (-3t2 + 6t) j

Ditanyakan :

Pernyataan yang berkaitan dengan gerak benda ?

Jawaban :

Benda bergerak parabola

r(t = 0s) = (8.0 – 4)i + (-3.02 + 6.0)j

r(t = 0s) = -4i – 0j

r(t = 1s) = (8.1 – 4)i + (-3.12 + 6.1)j

r(t = 1s) = 4i – 3j

\( \left| r\left( t=1s \right) \right| =\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \\ \left| r\left( t=1s \right) \right| =\sqrt { 16+9 } \\ \left| r\left( t=1s \right) \right| =\sqrt { 25 } \\ \left| r\left( t=1s \right) \right| =5㎧m \)

v = ​\( \frac { dv }{ dt } \)

v = 8i + (-6t + 6)j

v(t = 1s) = 8i + (-6.1 + 6) j

v(t = 1s) = 8i

|v(t = 1s)| = 8 m/s

  1. Percepatan sebuah partikel pada saat t adalah -6ti – 3j. Mula-mula partikel bergerak dengan kecepatan 4. Vektor kecepatan partikel pada saat t adalah ….
    1. 3t2i + ( 4 + 3t) j
    2. 3t2i + ( 4 – 3t) j
    3. 3t2i + ( 4 – 3t) j
    4. 3t2i + ( 4 – 3t2) j
    5. 3t2i + ( 4 + 3t) j

Jawaban  :

Jawaban : B

Diketahui :

at      = -6ti – 3j

vo     = 4j

Ditanyakan :

Vektor kecepatan ?

Jawaban :

vt = vo + ∫ a dt

vt = 4j + ∫ (-6ti-3j) dt

vt = 4j + ∫ ​\( \left\{ \left( -3{ t }^{ 2 } \right) i-3t\quad j \right\} \)

vt = -3t2 i  + (4 – 3t)j

  1. Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan kecepatan :

v = [5i + (2t – 1/3)j] ms-1

Jika posisi partikel mula-mula di pusat koordinat maka perpindahan partikel selama 3 sekon adalah ….

    1. 13 m/s
    2. 14 m/s
    3. 15 m/s
    4. 16 m/s
    5. 17 m/s

Jawaban  :

Jawaban : E

Diketahui :

v       = [5i + ( 2t- )j ] m/s

Ditanyakan :

Perpindahan partikel selama 3 sekon ?

Jawaban :

\( v=\left[ 5i+\left( 2t-\frac { 1 }{ 3 } \right) j \right] ㎧\\ r=\int { v\quad dt } \\ r=\int { 5i+\left( 2t-\frac { 1 }{ 3 } \right) j\quad dt } \\ r=5ti+\left( { t }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } t \right) j \)

r(t = 3s) = (5.3)i + (32 + .3)j

r(t = 3s) = 15i + (9-1)j

r(t = 3s) = 15i + 8j

\( \left| r\left( t=3s \right) \right| =\sqrt { { 15 }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } \\ \left| r\left( t=3s \right) \right| =\sqrt { 225+64 } \\ \left| r\left( t=3s \right) \right| =\sqrt { 289 } \\ \left| r\left( t=3s \right) \right| =17m \)

  1. Tabel di bawah merupakan tabel sebuah kereta dengan t menyatakan waktu dalam sekon dan v menyatakan kecepatan dalam m/s.

Perpindahan kereta selama 10 s adalah …. (Soal SPMB)

    1. 30 m
    2. 34 m
    3. 38 m
    4. 42 m
    5. 46 m

Jawaban  :

Jawaban : D

Diketahui :

Tabel kecepatan dan waktu kereta.

Ditanyakan :

Perpindahan selama 10 s ?

Jawaban :

Pada t = 0 s/d t = 4 s

a = (Vt – Vo) / t

a = (8 m/s – 0) / (4 s – 0)

a = 2 m/s2

Jarak :

S = Vo t + 1/2 a t2

S = 1/2 a t2

S = 1/2 2 m/ s2 (4s)2

S = 16 m

Pada  t = 4 s s/d t = 6 s

S = V t

S = 8 m/s 2 s

S = 16 m

Pada  t = 6 s s/d t = 8

a = (Vt – Vo) / t

a = (-4 m/s – 8 m/s) / 3 s

a = – 12/3 m/s2

a = – 4 m/s2

Jarak :

S = Vo t + 1/2 a t^2

S = 8 m/s 3 s + 1/2 (-4 m/s2) (3s)2

S = 24 m – 18 m

S = 6 m

Pada t = 8 s s/d t = 10

S = V. t

S = 4 m/s 1 s

S = 4 m

Total jarak :

S tot = 16 m + 16 m + 6 m + 4

S tot = 42 m

  1. Jika kecepatan gerak sebuah benda digambarkan oleh grafik d bawah ini maka harga kecepatan rata-ratanya setelah bergerak selama 20 sekon adalah ….

    1. 0,50 m/s
    2. 0,75 m/s
    3. 2,25 m/s
    4. 4,00 m/s
    5. 5,25 m/s

Jawaban  :

Jawaban : E

Diketahui :

Grafik kecepatan gerak benda.

Ditanyakan :

Kecepatan rata – rata selama 20 sekon ?

Jawaban :

a = ​\( \frac { v2-v1 }{ \Delta t } \)

a = ​\( \frac { 0-12 }{ 10 } \)

a = -1,2 m/s2

vt = vo + at

-6 = 12 – 1.2 t

t = ​\( \frac { 12+6 }{ 1,8 } \)

t = ​\( \frac { 18 }{ 1,2 } \)

t = 15 s

jarak yang di tempuh = luas arsiran

SI = ​\( \frac { 10\times 12 }{ 2 } \)

SI = 60 m

SII = ​\( \frac { \left( 10\times 5 \right) 6 }{ 20 } \)

SII = 45 m

V = ​\( \frac { SI+SII }{ 20 } \)

V = ​\( \frac { 60+45 }{ 20 } \)

V = ​\( \frac { 105 }{ 20 } \)

V = 5,25 m/s

  1. Kecepatan sudut sebuah benda yang berotasi dengan percepatan sudut tetap adalah 11 rad/s. Jika setelah 2,0 s, kecepatan sudutnya adalah 19 rad/s, perpindahan sudut yang telah di tempuhnya selama 2,0 s adalah ….
    1. 10 rad
    2. 15 rad
    3. 20 rad
    4. 25 rad
    5. 30 rad

Jawaban  :

Jawaban : E

Diketahui :

Wo   = 11 rad/s

t        = 2 s

Wt    = 19 rad/s

Ditanyakan :

Perpindahan sudut selama 2 s ?

Jawaban :

Wt = Wo + α.t

19 = 11 + α.2

2α = 19 – 11  = 8

α = 8/2

α = 4 rad/s2

θ(t = 2s) = Wo t + ½ α.t2

θ(t = 2s) = 11.2 + ½ 4.22

θ(t = 2s) = 22 + 8

θ(t = 2s) = 30 rad

  1. Sebuah roda dengan diameter 4 m berotasi dengan percepatan sudut tetap α = 4 rad/s2. Roda mulai dari keadaan diam pada t = 0 s di mana vektor radius ke titik P pada roda membuat sudut 45o dengan sumbu x. Tentukan posisi sudut dari titik P pada saat t.

    1. 45o
    2. 45o + 2t2 derajat
    3. 45o + 114,6t2 derajat
    4. 4t2 derajat
    5. 229,2t2 derajat

Jawaban  :

Jawaban : B

Diketahui :

W     = 4 rad/s2

Wo   = 0

t        = 0

θo     = 45o

Ditanyakan :

Posisi ?

Jawaban :

θo = θo + ∫w dt

θo = 45o + ∫4t dt

θo = 45o + 2t2

  1. Sebuah benda bergerak melingkar dengan kecepatan sudut bertambah besar. Pada waktu t, sudut θ yang ditempuh oleh benda dengan kecepatan sudut ω adalah sebagai berikut :

Percepatan sudut benda adalah …. (Soal SPMB)

    1. 4,5 rad/s2 saat t=6 s dan berkurang secara bertahap
    2. konstan 4 rad/s2
    3. konstan 8 rad/s2
    4. 15 rad/s2 saat t=8s dan bertambah dengan pertambahan tetap
    5. 4,5 rad rad/s2 saat t=6s dan bertambah secara bertahap

Jawaban  :

Jawaban : B

Diketahui :

Tabel gerak melingkar

Ditanyakan :

Percepatan sudut benda ?

Jawaban :

α1 = ​\( \frac { 19-11 }{ 2 } \)

α1 = ​\( \frac { 8 }{ 2 } \)

α1 = 4 rad/s2

α2 = ​\( \frac { 27-19 }{ 2 } \)

α2 = ​\( \frac { 8 }{ 2 } \)

α2 = 4 rad/s2

α3 = ​\( \frac { 35-27 }{ 2 } \)

α3= ​\( \frac { 8 }{ 2 } \)

α3 = 4 rad/s2

percepatan konstan 4 rad/s2

  1. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan gerak rotasi dengan percepatan sudut 15 rad/s2. Titik A berada pada benda tersebut, berjarak 10 cm dari sudut sumbu putar. Tepat setelah benda berotasi selama 0,4 sekon, A mengalami percepatan total sebesar (dalam m/s2) ….
    1. 1,5
    2. 2,1
    3. 3,6
    4. 3,9
    5. 5,1

Jawaban  :

Jawaban : D

Diketahui :

α = 15 rad/s2

r = 10 cm

t = 0,4s

Ditanyakan :

Percepatan total ?

Jawaban :

at = α . r

at = 15 . 0,1

at = 1,5 m/s2

at = 225 (0,4)2 . 10

at = 3,6 m/s2

as = w2. r

as = (15t)2 . 10

as = 225 t2 . 10

\( atotal=\sqrt { { at }^{ 2 }+{ as }^{ 2 } } \\ atotal=\sqrt { { 1,5 }^{ 2 }+{ 3,6 }^{ 2 } } \\ atotal=\sqrt { 2,25+12,96 } \\ atotal=\sqrt { 15,21 } \\ atotal=3,9㎨ \)

  1. Sebuah penggulung dalam suatu mesin cetak berputar melalui sudut θ(t) yang diberikan oleh θ(t) = 3,00t2 – 0,400t3, dengan t dalam s dan θ dalam rad. Kecepatan sudut maksimum yang di acapai penggulung adalah ….
    1. 5,0 rad/s
    2. 6,7 rad/s
    3. 7,5 rad/s
    4. 10,0 rad/s
    5. 13,3 rad/s

Jawaban  :

Jawaban : C

Diketahui :

θ(t) = 3,00t2 – 0,400t3

Ditanyakan :

Kecepatan maks. sudut ?

Jawaban :

θ(t) = 3t2 – 0,4t3

ω(t) = 6t – 1,2t2

\( \frac { d\omega }{ dt } =6-2,4t \)

ω max jika ​\( \frac { d\omega }{ dt } \)​ = 0

6 – 2,4t = 0

t = 6/2,4

t = 2,5

ωmax  = 6 (2,5) – (1,2) (2,5) 2

ωmax  = 15 – 7,5

ωmax  = 7,5 rad/s

  1. Sebuah sungai mengalir dari barat ke timur, pada kelajuan 5 m/menit. Seorang anak pada tepi selatan sungai mampu berenang pada kelajuan 10 m/menit dalam air tenang. Jika anak itu ingin berenang menyebrangi sungai dengan selang waktu tercepat, ia harus berenang dengan sudut θ terhadap arah utara. Nilai sin θ adalah ….
    1. 1/2
    2. 2
    3. 2/3
    4. 2/5
    5. 3/2

Jawaban  :

Jawaban : Tidak Ada

Diketahui :

Sungai = 5 m/menit

Anak = 10 m/menit

Arah utara

Ditanyakan :

sin θ ?

Jawaban :

\( R=\sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } \\ R=\sqrt { 100+25 } \\ R=\sqrt { 125 } \\ R=5\sqrt { 5 } \\ \sin { \theta } =\frac { 5 }{ 5\sqrt { 5 } } \\ \sin { \theta } =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \\ \sin { \theta } =\frac { 1 }{ 5 } \sqrt { 5 } \)

  1. Air sungai mengalir dari barat ke timur pada kelajuan c. Seorang anak berenang searah arus sungai dengan kelajuan v sampai menempuh jarak d. Kemudian anak tersebut berbalik arah dan berenang menuju titik berangkatnya semula. Selang waktu yang di tempuh anak itu adalah ….
    1. \( \frac { 2d }{ v+c } \)
    2. \( \frac { 2d }{ v-c } \)
    3. \( \frac { 3dv }{ { v }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } \)
    4. \( \frac { 2dv }{ { v }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } } \)
    5. \( \frac { 2dv }{ { v }^{ 2 }{ +c }^{ 2 } } \)

Jawaban  :

Jawaban : D

Diketahui :

Kelajuan sungai = c

Kelajuan anak = v

Jarak = d

Ditanyakan :

Selang waktu yang ditempuh anak ?

Jawaban :

Searah arus sungai

\( t1=\frac { s }{ v1 } \\ t1=\frac { d }{ v+c } \)

Melawan arus sungai

\( t2=\frac { s }{ v2 } \\ t2=\frac { d }{ v-c } \)

Total waktu :

\( t1+t2=\frac { d }{ v+c } +\frac { d }{ v-c } \\ t1+t2=\frac { d\left( v-c \right) +d\left( v+c \right) }{ \left( v+c \right) \left( v-c \right) } \\ t1+t2=\frac { dc-dv+dv+dc }{ { v }^{ 2 }{ c }^{ 2 } } \\ t1+t2=\frac { 2dv }{ { v }^{ 2 }{ -c }^{ 2 } } \)

  1. Sebuah pesawat menempuh suatu jalur lurus dari A ke B dan berbalik lagi. Jarak antara A dan B adalah L dan pesawat bergerak dengan kelajuan tetap v terhadap udara. Saat itu ada angina bertiup dengan kelajuan tetap u. Jika angin bertiup tegak lurus terhadap garis AB maka waktu total perjalanan pesawat adalah ….
    1. \( \frac { 2L }{ { v }^{ 2 }-{ u }^{ 2 } } \)
    2. \( \frac { 2L }{ { v }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } } \)
    3. \( \frac { 2L }{ { v }-u } \)
    4. \( \frac { 2L }{ \sqrt { { v }^{ 2 }-{ u }^{ 2 } } } \)
    5. \( \frac { 2L }{ \sqrt { { v }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } } } \)

Jawaban  :

Jawaban : B

Diketahui :

Pesawat menempuh jarak lurus dari A ke B dan berbalik lagi, jarak L.

Ditanyakan :

Waktu total perjalanan pesawat ?

Jawaban :

Vr = v2 + u2

\( t=\frac { s }{ v } \\ t=\frac { L }{ { v }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } } \)

pesawat terbang kemudian kembali -> t dikali 2

sehingga ​\( t=\frac { L }{ { v }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } } \)

  1. Sebuah bom di jatuhkan dari sebuah pesawat tempur tanpa kecepatan awal relatif terhadap pesawat. Saat menjatuhkan bom pesawat itu dari ketinggian h dan sedang bergerak dengan kecepatan u dalam arah horizontal. Supaya bom mendarat tepat pada sasaran maka jarak horizontal pasawat dari sasaran saat pilot menjatuhkan bom adalah ….
    1. \( u\sqrt { \frac { h }{ 2g } } \)
    2. \( u\sqrt { \frac { h }{ g } } \)
    3. \( u\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
    4. \( 2u\sqrt { \frac { h }{ g } } \)
    5. \( 2u\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

Jawaban  :

Jawaban : C

Diketahui :

Bom dijatuhkan dari pesawat

Ketinggian = h

Kecepatan = u

Ditanyakan :

Jarak horizontal pesawat dari sasaran ?

Jawaban :

x = vx . t

h = v­oy + ½ gt2

h = 0.t + ½ gt2

h   = ½ gt2

\( t=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

x = vx . t

x = vx . ​\( \sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

x = ​\( u\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

  1. Sebuah bola dilempar horizontal dari puncak sebuah menara yang tingginya h meter. Bola menumbuk tanah pada sebuah titik sejauh x meter dari kaki menara. Jika gravitasi adalah g dan sudut yang dibentuk oleh vektor kecepatan terdapat arah horizontal tepat sesaat sebelum bola menumbuk tanah adalah θ maka tan θ = ….
    1. \( \sqrt { \frac { 2h }{ x } } \)
    2. \( \sqrt { \frac { h }{ 2x } } \)
    3. \( \frac { 2x }{ h } \)
    4. \( \frac { h }{ 2x } \)
    5. \( \frac { 2h }{ x } \)

Jawaban  :

Jawaban : E

Diketahui :

Bola dilempar horizontal

Tinggi menara  = h meter

Titik = x meter

Ditanyakan :

tanθ = ?

Jawaban :

y = v­oy . t + ½ gt2

y = ½ gt2

h = ½ gt2

\( t=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

vy = v­oy + gt

v= ​\( g\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

s = vx . t

vx =  s/v

\( vx=\frac { x }{ \sqrt { \frac { 2h }{ g } } } \)

\( \tan { \theta } =\frac { Vy }{ Vx } \\ \tan { \theta } =\frac { g\sqrt { \frac { 2h }{ g } } }{ \frac { x }{ \sqrt { \frac { 2h }{ g } } } } \\ \tan { \theta } =g\sqrt { \frac { 2h }{ g } } .\frac { \sqrt { \frac { 2h }{ g } } }{ x } \\ \tan { \theta } =\frac { 2h }{ x } \)

  1. Gambar di bawah menunjukkan sebuah bola yang ditendang dari sebuah penggung yang tingginya 1,2 m pada kelajuan awal 10,0 m/s dan sudut elevasi θ = 30o terhadap horizontal.

Jarak mendatar l yang ditempuh bola ketika bola itu mengenai tanah adalah ….

    1. 6,8 m
    2. 7,5 m
    3. 9,0 m
    4. 10,2 m
    5. 11,4 m

Jawaban  :

Jawaban : D

Diketahui :

Tinggi =  1,2 m

Kelajuan awal = 10,0 m/s

Sudut elevasi θ = 30o

Ditanyakan :

Jarak mendatar =?

Jawaban :

y = yo + vo sin θ t – ½ gt2

0 = 1,2 + vo sin 30 t – 5t2

0 = –5t2 + 5t + 1,2

0 = 5t2 – 5t – 1,2

\( t12=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \\ t12=\frac { 5\pm \sqrt { 25+24 } }{ 10 } \\ t1=\frac { 5\pm \sqrt { 49 } }{ 10 } \\ t1=1,2s \)

x = vo cos θ t

x = 10 cos 30 . 1,2

x = 10 . 1/2√3 . 1,2

x = 6√3

x = 10,4 m

  1. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah horizontal pada kecepatan awal v dan dari ketinggian h dari permukaan tanah. Jika gesekan dengan udara di abaikan, jarak horizontal yang di tempuh peluru bergantung pada:
    1. kecepatan awal v
    2. ketinggian h
    3. percepatan gravitasi
    4. massa peluru

Pernyataan yang benar adalah ….

    1. (1), (2), (3)
    2. (1) dan (3)
    3. (2) dan (4)
    4. (4) saja
    5. (1), (2), (3), dan (4)

Jawaban  :

Jawaban : A

Diketahui :

Peluru ditembakkan arah horizontal

Kecepatan awal  = v

Ketinggian = h

Ditanyakan :

Pernyataan yang benar ?

Jawaban :

h = ½ g t²

t = ​\( \sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

jarak horizontal

x = v t

\( x=v\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)​ -> (1), (2), dan (3)

  1. Diagram disamping menunjukan lintasan sebuah proyektil yang di tembakkan dengan kecepatan horizontal v dari atap gedung setinggi h. Harga-harga untuk v dan h berikut yang akan menghasilkan θ terbesar adalah ….

    1. v = 10 m/s, h = 30 m
    2. v = 10 m/s, h = 50 m
    3. v = 30 m/s, h = 30 m
    4. v = 30 m/s, h = 50 m
    5. v = 50 m/s, h = 10 m

Jawaban  :

Jawaban : B

Diketahui :

Kecepatan horizontal = v

Ketinggian = h

Ditanyakan :

v dan h θ terbesar ?

Jawaban :

\( Vy=\sqrt { 2gh } \\ Vy=\sqrt { 2.10.50 } \\ Vy=\sqrt { 1000 } \\ Vy=10\sqrt { 10 } ㎧\\ Vx=10㎧\\ \tan { \theta } =\frac { Vy }{ Vx } \\ \tan { \theta } =\frac { 10\sqrt { 10 } }{ 10 } \\ \tan { \theta } =\sqrt { 10 } \\ \tan { \theta } =72,5°\\ \tan { \theta } =\frac { Vty }{ Vtx } \\ \tan { \theta } =\frac { \sqrt { 2gh } }{ v } \)

nilai θ besar jika nilai tan θ besar atau nilai / v besar

Nilai  / v terbesar, jika pembilang besar, penyebut kecil.

  1. Seorang pemain ski melompat dengan sudut 37o dan laju v0 = 10 m/s, kemudian ia mendarat dan menempuh jarak sejauh d pada bidang miring (lihat gambar). Jika sudut kemiringan 37o, maka jarak d yang ditempuh adalah …. ( asumsikan g = 10 m/s2 dan sin 37o = 0,6 )

    1. 24 m
    2. 20 m
    3. 16 m
    4. 12 m
    5. 8 m

Jawaban  :

Jawaban : A

Diketahui :

Sudut = 37o

v0 = 10 m/s

Ditanyakan :

d = ?

Jawaban :

x = d cos 37o

x = 0,8 d

y = – d sin 37o

y = – 0,6 d

vox = vo cos 37

vox = 10 (0,8)

vox = 8 m/s

voy = vo sin 37

voy = 10 (0,6)

voy = 6 m/s

Pada sumbu x :

x = vox­ . t

0,8d = 8.t

t = 0,1 d

P ada sumbu y

y = v­oy . t+ ½ gt2

-0,6 d = 6 (0,1d) – ½ (10)(0,1d)2

-0,6 d = 0,6d – 0,05d2

-0,6 = 0,6 – 0,05d

0,05 d = 1,2

d = 24 m

  1. Sebuah bola dilempar beberapa kali dengan kelajuan sama tetapi dengan sudut elevasi yang berbeda. Grafik berikut yang menunjukan dengan tepat variasi jarak jangkauan R dengan sudut elevasi θ adalah ….

Jawaban  :

Jawaban : E

Diketahui :

Kelajuan sama tetapi dengan sudut elevasi yang berbeda

Ditanyakan :

Grafik yang benar ?

Jawaban :

Sumbu x : gerak parabola, kecepatan konstan

Sumbu y : percepatan konstan

x = vox . t

y = yo + voyt – 1/2gt2

Pada waktu mencapai tanah/jangkauan maksimum, y = 0

0 = voy t – 1/2 gt2

t = 2voy/g

Jangkauan maksimum = R

R = Vox Voy /g

Oleh karena :

Vox = Vo cosθ

Voy = Vo sinθ

Maka :

R = vo2 sin 2θ/g

  1. Sebuah bola dilempar dengan sudut elevasi θ. Jika gesekan udara diabaikan maka nilai perbandingan antara ketinggian maksimum dan jarak terjauh mendarat yang dicapai peluru adalah ….
    1. \( \frac { 1 }{ 8 } \tan { \theta } \)
    2. \( \frac { 1 }{ 4 } \tan { \theta } \)
    3. \( \frac { 1 }{ 2 } \tan { \theta } \)
    4. \( \tan { \theta } \)
    5. \( 2\tan { \theta } \)

Jawaban  :

Jawaban : B

Diketahui :

Sudut elevasi  = θ

Gesekan udara diabaikan

Ditanyakan :

Nilai perbandingan ketinggian maksimum dan jarak terjauh mendarat ?

Jawaban :

\( ymax=\frac { { vo }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta }{ 2g } \\ xmax=\frac { { vo }^{ 2 }sin2\theta }{ g } \\ xmax=\frac { { 2vo }^{ 2 }sin\theta cos\theta }{ g } \\ \frac { ymax }{ xmax } =\frac { \frac { { vo }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta }{ 2g } }{ \frac { { 2vo }^{ 2 }sin\theta cos\theta }{ g } } \\ \frac { ymax }{ xmax } =\frac { 1 }{ 4 } \tan { \theta } \)

  1. Sebuah partikel yang mengalami gerak parabola, posisinya saat t di tentukan oleh koordinat (x,y) dengan x = 6t dan y = 12t – 5t2, x, y dalam m, t dalam s. jika sudut elevasi pelemparan adalah θ maka nilai tan θ adalah ….
    1. 1/2
    2. 1/3
    3. 1/4
    4. 1

Jawaban  :

Jawaban : Tidak Ada

Diketahui :

rx    = 6t

vx   = 6

ry    = 12t – 5t2

vy   = 12 – 10t

Ditanyakan :

tan θ = ?

Jawaban :

ry    = 12t – 5t2

vy   = 12 – 10t

Pada saat  t  = 0

vx = 6

vy = 12 – 10.0

vy = 12

\( \tan { \theta } =\frac { Vy }{ Vx } \\ \tan { \theta } =\frac { 12 }{ 6 } \\ \tan { \theta } =2\\ \)

  1. Sangkuriang memutar sebuah batu dalm suatu lingkaran h meter di atas tanah dengan menggunakan tali yang panjangnya l meter. Tali putus dan batu terbang secara horizontal dan menumbuk tanah pada jarak horizontal d meter dari tempat sangkuriang. Percapatan sentripetal yang dialami batu sesaat sebelum tali putus adalah ….
    1. \( \frac { { gd }^{ 2 } }{ 2lh } \)
    2. \( \frac { { gh }^{ 2 } }{ 2ld } \)
    3. \( \frac { { ld }^{ 2 } }{ 2gh } \)
    4. \( \frac { g^{ 2 }d }{ 2lh } \)
    5. \( \frac { 2gd^{ 2 } }{ lh } \)

Jawaban  :

Jawaban : A

Diketahui :

Lingkaran = h meter

Tali = 1 meter

Ditanyakan :

Percepatan sentripetal batu sebelum tali putus ?

Jawaban :

y = yo + voy – ½ gt2

0 = h – 0 – ½ gt2

0 = h – ½ gt2

\( t=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)

d    = vox . t

vox = ​\( d\sqrt { \frac { g }{ 2h } } \)

\( asp=\frac { v^{ 2 } }{ r } \\ asp=\frac { { d }^{ 2 }\frac { g }{ 2h } }{ l } \\ asp=\frac { { gd }^{ 2 } }{ 2lh } \)

ESAI

Posisi, Kecepatan , dan Percepatan pada Gerak dalam Bidang

  1. Vektor posisi sebuah partikel P pada saat t dinyatakan oleh r = 40t i + (30t – 5r2) j. Tentukan perpindahan (besar dan arah ) P antara :
    1. t = 0 dan t = 4;
    2. antara t = 1 dan t = 3.

Diketahui :

r = 40t i + (30t – 5r2) j

Ditanyakan :

Besar dan arah P :

  1. t = 0 dan t = 4 ?
  2. antara t = 1 dan t = 3 ?

Jawaban :

Antara t = 0 dan t = 4 :

r2 = 40(4) i + (30(4) – 5(4)2) j

r2 = 160 i + 40 j

r1 = 40(0) i + (30(0) – 5(0)2) j

r1 = 0 i + 0 j

Δr = r2 – r1

Δr = (160 – 0) i + (40 – 0) j

Δr = 160 i + 40 j

\( \Delta r=\sqrt { { 160 }^{ 2 }+{ 40 }^{ 2 } } \\ \Delta r=\sqrt { 25600+1600 } \\ \Delta r=\sqrt { 27200 } \\ \Delta r=40\sqrt { 17 } m\\ \tan { \theta } =\frac { 40 }{ 160 } \\ \tan { \theta } =\frac { 1 }{ 4 } \\ \theta =14,04° \)                                                                       

Antara t = 1 dan t = 3 :

r2 = 40(4) i + (30(3) – 5(3)2) j

r2 = 120 i + 45 j

r1 = 40(1) i + (30(1) – 5(1)2) j

r= 40 i + 25 j

Δr = r2 – r1

Δr = (120 – 40) i + (45 – 25) j

Δr = 80 i + 15 j

\( \Delta r=\sqrt { { 80 }^{ 2 }+{ 15 }^{ 2 } } \\ \Delta r=\sqrt { 6400+225 } \\ \Delta r=\sqrt { 6625 } \\ \Delta r=5\sqrt { 265 } m\\ \tan { \theta } =\frac { 15 }{ 80 } \\ \tan { \theta } =\frac { 3 }{ 16 } \\ \theta =10,62° \)

  1. Sebuah partikel P sedang bergerak dalam suatu lintasan lurus dengan vektor posisi x = 3r2 – 4r + 36, t dalam sekon dan x dalam meter. Tentukan kecepatan rata-rata P antara :
    1. t = 0 dan t = 2;
    2. t = 1 dan t = 3.

Diketahui :

x = 3r2 – 4r + 36

Ditanyakan :

Tentukan kecepatan rata-rata P antara :

  1. t = 0 dan t = 2;
  2. t = 1 dan t = 3.

Jawaban :

Antara t = 0 dan t = 2 :

​​\( \overrightarrow { v } =\frac { \Delta x }{ \Delta t } \\ \overrightarrow { v } =\frac { \left( 3.{ 2 }^{ 2 }-4.2+36 \right) -\left( 3.{ 0 }^{ 2 }-4.0+36 \right) }{ 2-0 } \\ \overrightarrow { v } =2㎧ \)​​

Antara t = 1 dan t = 3 :

​​\( \overrightarrow { v } =\frac { \Delta x }{ \Delta t } \\ \overrightarrow { v } =\frac { \left( 3.{ 3 }^{ 2 }-4.3+36 \right) -\left( 3.1^{ 2 }-4.1+36 \right) }{ 3-1 } \\ \overrightarrow { v } =8㎧ \)​​

  1. Vektor posisi partikel P pada saat t adalah :
    1.  r = 3t2 i + t3 j
    2. \( r=\frac { 2 }{ t } i+4-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } j \)

Tentukan vektor kecepatan rata-rata partikel antara t = 1 dan t = 3. Tentukan juga besar dan arahnya.

Diketahui :

  1.  r = 3t2 i + t3 j
  2. \( r=\frac { 2 }{ t } i+4-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } j \)

Ditanyakan :

Vektor kecepatan rata-rata partikel antara t = 1 dan t = 3, serta besar dan arah ?

Jawaban :

r = 3t2 i + t3 j :

\( \xrightarrow { r } =3{ t }^{ 2 }i+{ t }^{ 3 }j\\ \overrightarrow { v } =\frac { \left( 3.{ 3 }^{ 2 }i+{ 3 }^{ 2 }j \right) -\left( 3i+j \right) }{ 3-1 } \\ \overrightarrow { v } =12i+13j\\ \left| v \right| =\sqrt { { 12 }^{ 2 }+{ 13 }^{ 2 } } \\ \left| v \right| =\sqrt { 313 } \\ \tan { \theta } =\frac { 13 }{ 12 } \\ \tan { \theta } =1,083\\ \theta =47,3° \)

\( r=\frac { 2 }{ t } i+4-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } j \)   :

\( \xrightarrow { r } =\frac { 2 }{ t } i+\left( 4-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } \right) j\\ \overrightarrow { v } =\sqrt { { \left( -\frac { 2 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 4 }{ 9 } \right) }^{ 2 } } \\ \overrightarrow { v } =\frac { 2 }{ 9 } \sqrt { 13 } ㎧\\ \tan { \theta } =-\frac { \frac { 4 }{ 9 } }{ \frac { 2 }{ 3 } } \\ \tan { \theta } =-\frac { 2 }{ 3 } \\ \theta =-33,7° \)

  1. Untuk soal seperti nomer 3, tentukan kecepatan P pada saat (a) t = 0, (b) t = 1, (c) t = 2, dan
    (d) t = 3. Tentukan juga besar dan arahnya.

Diketahui :

r = 3t2 i + t3 j

\( r=\frac { 2 }{ t } i+4-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } j \)

Ditanyakan :

Kecepatan P pada t = 0, 1, 2, dan 3, serta besar dan arah ?

Jawaban :

r = 3t2 i + t3 j :

\( \overrightarrow { v } =\frac { dr }{ dt } \\ \overrightarrow { v } =6ti+3{ t }^{ 2 }\)

\( \overrightarrow { v } \left( t=0 \right) =0㎧\\ \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) =6i+3j\\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) \right| =\sqrt { 6^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) \right| =3\sqrt { 5 } ㎧\\ \tan { \theta } =\frac { 3 }{ 6 } \\ \tan { \theta } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \theta =26,57°\\ \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) =6.2i+3.{ 2 }^{ 2 }j\\ \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) =12i+12j\\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) \right| =\sqrt { { 12 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) \right| =12\sqrt { 12 } ㎧\\ \tan { \theta } =\frac { 12 }{ 12 } \\ \tan { \theta } =1\\ \theta =45°\\ \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) =6.3i+3.{ 3 }^{ 2 }j\\ \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) =18i+27j\\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) \right| =\sqrt { { 18 }^{ 2 }+{ 27 }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) \right| =9\sqrt { 13 } ㎧\\ \tan { \theta } =\frac { 27 }{ 18 } \\ \tan { \theta } =\frac { 3 }{ 2 } \\ \theta =56,3°\\ \)

\( r=\frac { 2 }{ t } i+4-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } j \) :

\( \xrightarrow { r } =\frac { 2 }{ t } i+\left( 4-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } \right) j\\ \overrightarrow { v } =\frac { dr }{ dt } \\ \overrightarrow { v } =-\frac { 2 }{ { t }^{ 2 } } i+\frac { 2 }{ { t }^{ 3 } } j \)

\( \overrightarrow { v } \left( t=0 \right) =0㎧\\ \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) =-\frac { 2 }{ { t }^{ 2 } } i+\frac { 2 }{ { t }^{ 3 } } j\\ \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) =-\frac { 2 }{ { 1 }^{ 2 } } i+\frac { 2 }{ { 1 }^{ 3 } } j\\ \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) =-2i+2j\\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) \right| =\sqrt { { -2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=1 \right) \right| =2\sqrt { 2 } ㎧\\ \tan { \theta } =\frac { 2 }{ -2 } \\ \tan { \theta } =-1\\ \theta =-45°\\ \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) =-\frac { 2 }{ { 2 }^{ 2 } } i+\frac { 2 }{ { 2 }^{ 3 } } j\\ \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) =-\frac { 1 }{ 2 } i+\frac { 1 }{ 4 } j\\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) \right| =\sqrt { { -\frac { 1 }{ 2 } }^{ 2 }+{ \frac { 1 }{ 4 } }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=2 \right) \right| =\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { 5 } \\ \tan { \theta } =\frac { \frac { 1 }{ 4 } }{ -\frac { 1 }{ 2 } } \\ \tan { \theta } =-\frac { 1 }{ 2 } \\ \theta =-26,5°\\ \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) =-\frac { 2 }{ { 3 }^{ 2 } } i+\frac { 2 }{ { 3 }^{ 3 } } j\\ \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) =-\frac { 2 }{ 9 } i+\frac { 3 }{ 27 } j\\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) \right| =\sqrt { { -\frac { 2 }{ 9 } }^{ 2 }+{ \frac { 2 }{ 27 } }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { v } \left( t=3 \right) \right| =\frac { 2 }{ 27 } \sqrt { 10 } ㎧\\ \tan { \theta } =\frac { \frac { 2 }{ 27 } }{ -\frac { 2 }{ 9 } } \\ \tan { \theta } =-\frac { 1 }{ 3 } \\ \theta =-18,44°\\ \)

  1. Grafik kedudukan terhadap waktu sebuah mobil di tunjukan pada gambar di bawah ini. Dengan menggunakan cara grafis, tentukanlah kecepatan mobil pada saat :

    1.  t = 5 s;
    2. t = 15 s;
    3.  t = 22 s;
    4. t = 30 s

Diketahui :

Grafik kedudukan terhadap waktu sebuah mobil.

Ditanyakan :

Kecepatan pada saat t = 5s, 15s, 22s, 30s ?

Jawaban :

Pada t = 5s  :

\( v\left( t=5s \right) =\frac { \Delta x }{ \Delta t } \\ v\left( t=5s \right) =\frac { 250-0 }{ 10-0 } \\ v\left( t=5s \right) =25㎧ \)

Pada t = 15s  :

\( v\left( t=15s \right) =\frac { \Delta x }{ \Delta t } \\ v\left( t=15s \right) =\frac { 250-250 }{ 20-10 } \\ v\left( t=15s \right) =0㎧ \)

Pada t = 22s  :

\( v\left( t=22s \right) =\frac { \Delta x }{ \Delta t } \\ v\left( t=22s \right) =\frac { 200-250 }{ 25-20 } \\ v\left( t=22s \right) =-10㎧ \)

Pada t = 30s  :

\( v\left( t=30s \right) =\frac { \Delta x }{ \Delta t } \\ v\left( t=30s \right) =\frac { 200-250 }{ 25-20 } \\ v\left( t=30s \right) =-10㎧ \)

  1. Sebuah partikel P sedang bergerak dalam lintasan lurus dan posisinya terhadap titik asal O adalah x = 3t2 – 24t + 36. Tentukan : (a) kecepatan awal P, (b) kecepatan P pada t = 2, (c) jarak maksimum yang di tempuh P diukur dari titik asal O.

Diketahui :

x(t)   = 3t2 – 24t + 36

Ditanyakan :

  1. kecepatan awal P ?
  2. kecepatan P pada t = 2 ?
  3. jarak maksimum P dari O ?

Jawaban :

v      =  = 6t – 24

Kecepatan awal P :

v(t=0 s) = 0 – 24

v(t=0 s) = – 24 m/s

Kecepatan P pada t = 2 :

v(t=2 s) = 6.2 – 24

v(t=2 s) = – 12 m/s

Jarak maksimum ​\( \frac { dx }{ dt } =0 \)

6t – 24  = 0

t = 3

x maksimum = 3.32 – 24.3 + 36

x maksimum = – 9 m

  1. Vektor posisi sebuah partikel di berikan oleh r(t) = x(t) i + t(t) j, x(t) = at + b dan y(t) = ct2 + d, dengan a = 1 m/s, b = 1 m, c = 1/8 m/s2, dan d = 1 m.
    1. Tentukan vektor posisi dan jarak partikel dari titik asal pada t = 2 s.
    2. Tentukan perpindahan dan kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu dari t = 0 s sampai dengan t = 2 s.
    3. Persamaan umum kecepatan partikel.
    4. Tentukan perpindahan dan kelajuan partikel pada t = 2 s.
    5. Mengapa jarak partikel pada (a) tidak sama dengan perpindahan pada (b)?
    6. Mengapa kecepatan pada (b) tidak sama dengan kecepatan (d)?

Diketahui :

X(t)  = at + b

Y(t)  = ct2 + d

a       = 1 m/s

b       = 1 m

c       = 1/8 m/s2

d       = 1 m

x(t)   = (t+1) m

y(t)   = (1/8 t2 + 1) m

Ditanyakan :

  1. vektor posisi dan jarak partikel dari titik asal t = 2 s. ?
  2. perpindahan dan kecepatan rata-rata  t = 0 s sampai dengan t = 2 s. ?
  3. persamaan umum kecepatan partikel. ?
  4. perpindahan dan kelajuan t = 2 s. ?
  5. Mengapa jarak partikel pada (a) tidak sama dengan perpindahan pada (b)?
  6. Mengapa kecepatan pada (b) tidak sama dengan kecepatan (d)?

Jawaban :

Jawaban a :

\( \overrightarrow { r } =\left( t+1 \right) i+\left( \frac { 1 }{ 8 } { t }^{ 2 }+1 \right) j\\ r\left( t=2s \right) =3i+\frac { 3 }{ 2 } j\\ \Delta \overrightarrow { r } =\overrightarrow { r2 } -\overrightarrow { r1 } \\ \Delta \overrightarrow { r } =\left( \left( 2+1 \right) i \right) -\left( \left( \frac { 1 }{ 8 } { 2 }^{ 2 }+1 \right) j \right) -\left( 1i+1j \right) \\ \Delta \overrightarrow { r } =\left( 2+1 \right) i+\left( \frac { 1 }{ 2 } +1+1 \right) j\\ \Delta \overrightarrow { r } =2i+\frac { 1 }{ 2 } j\quad m\\ \left| \overrightarrow { r } \right| =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ \frac { 3 }{ 2 } }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { r } \right| =\frac { 3 }{ 2 } \sqrt { 5 } m \)

Jawaban b :

\( \Delta \overrightarrow { r } =\left( 2i+\frac { 1 }{ 2 } j \right) \\ \overrightarrow { v } =\frac { \Delta \overrightarrow { r } }{ \Delta t } \\ \overrightarrow { v } =\frac { \left( 2i+\frac { 1 }{ 2 } j \right) }{ 2-0 } \\ \overrightarrow { v } =i+\frac { 1 }{ 4 } j \)

Jawaban c :

\( v\left( t \right) =\frac { dx }{ dt } i+\frac { dy }{ dt } j\\ v\left( t \right) =i+\frac { 1 }{ 4 } j \)

Jawaban d :

\( v\left( t=2s \right) =i+\frac { 1 }{ 4 } .2j\\ v\left( t=2s \right) =i+\frac { 1 }{ 2 } j\\ \left| v\left( t=2s \right) \right| =\sqrt { 1^{ 2 }+{ \frac { 1 }{ 2 } }^{ 2 } } \\ \left| v\left( t=2s \right) \right| =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 5 } m\\ \)

Jawaban e :

Karena posisi awal bukan dititik (0,0)

Jawaban f :

kecepatan (b) adalah kecepatan rata-rata, sedangkan kecepatan (d) adalah kecepatan sesaat

  1. Koordinat-koordinat x dan y dari partikel P yang sedang bergerak adalah x = 4 + 3t + t2 dan y = 6 + 4t + 0,5t2; t dalam sekon x dan y dalam meter.
    1. Tentukan vektor posisi dan vektor kecepatan pada saat t sembarang.
    2. Kapankah komponen horizontal dan vertical dari kecepatan sama besar? Berapakah kelajuan P dan jarak P dari titik asal pada saat itu?

Diketahui :

x = 4 + 3t + t2

y = 6 + 4t + 0,5t2

Ditanyakan :

  1. vektor posisi dan vektor kecepatan pada saat t sembarang.
  2. Kapankah komponen horizontal dan vertical dari kecepatan sama besar? kelajuan P dan jarak P dari titik asal pada saat itu?

Jawaban :

Jawaban a :

\( \overrightarrow { r } =\left( { 4+3t+t }^{ 2 } \right) i+\left( 6+4t+0,5{ t }^{ 2 } \right) j\\ \overrightarrow { v } =\frac { dr }{ dt } \\ \overrightarrow { v } =\frac { d\left( { 4+3t+t }^{ 2 } \right) i+\left( 6+4t+0,5{ t }^{ 2 } \right) j }{ dt } \\ \overrightarrow { v } =\left( 3+2t \right) i+\left( 4+t \right) j㎧ \)

Jawaban b :

\( \overrightarrow { vy } =\overrightarrow { vx } \\ 4+t=3+2t\\ t=1s(4+3t+t2)i+(6+4t+0,5t2)j\\ v(t=1s)=(3+2.1)i+(4+1)j\\ v(t=1s)=5i+5j\\ |v(t=1s)|=5\sqrt { 2 } m/s\\ r(t=1s)=(4+3.1+12)i+(6+4.1+0,5.12)j\\ r(t=1s)=8i+10,5j\\ \left| \overrightarrow { r } \right| =\sqrt { { 8 }^{ 2 }+{ 10,5 }^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { r } \right| =13,2m \)

  1. Sebuah sepeda motor bergerak dari keadaan diam menurut grafik hubungan dan waktu seperti pada gambar berikut :

    1. Jelaskan perjalanan sepeda motor dengan kata-kata
    2. Hitung jarak total yang ditempuh sepeda motor dengan menggunakan persamaan GLBB dan menghitung luas trapesium.
    3. Manakah yang lebih mudah dan cepat: cara pertama ataukah kedua? Berilah komentar anda

Diketahui :

Grafik hubungan waktu dan kecepatan sepeda motor.

Ditanyakan :

  1. Perjalanan sepeda motor dengan kata-kata ?
  2. Jarak total yang ditempuh sepeda motor dengan menggunakan persamaan GLBB dan menghitung luas trapesium ?
  3. Lebih mudah dan cepat: cara pertama ataukah kedua?

Jawaban :

Jawaban a :

Mulai dari t= 0 s sampai t= 50 s sepeda motor bergerak dengan percepatan tetap sebesar 0,4 m/s2. Kemudian dari t= 50 s hingga t= 250 s sepeda motor bergerak dengan kecepatan tetap 20 m/s. Kemudian dari t= 250 s dampai t= 500 s sepeda mengalami perlambatan.

Jawaban b :

Jarak total = luas trapesium

Jarak total = ​\( \frac { \left( 200+300 \right) 20 }{ 2 } \)

Jarak total = 5000 m

Rtotal = r1 + r2 + r3

Rtotal = v1 t1 + ½ at12 + v2 t2 + v3 t3 + ½ at32

Rtotal = 0 . 50 + ½  502 + 20(250 – 50) + 20(300 – 250) +  ½  (300 – 250)2

Rtotal = 500 + 4000 + 500

Rtotal = 5000 m

Jawaban c :

Cara kedua lebih mudah, karena hanya menghitung luas di bawah kurva.

  1. Sebuah mobil mengalami percepatan tetap 16 m/s selama 8 s. Mobil bertahan dengan kecepatan ini selama 12 s, kemudian dilakukan pengereman sampai mobil berhenti dalam selang waktu 5 s. hitunglah jarak total yang di tempuh mobil dengan cara grafis. Anggap mobil menempuh lintasan lurus.

Diketahui :

Percepatan tetap = 16 m/s

Waktu = 8 s

Ditanyakan :

Jarak total ?

Jawaban :

Jarak total  = luas trapesium

Jarak total  = ​\( \frac { \left( 25+4 \right) 16 }{ 2 } \)

Jarak total  = 232 m

  1. Tentukan jarak total dan kelajuan rata-rata untuk perjalanan berbagai benda yang di tunjukan grafik kecepatan terhadap waktu (garfik v-t) berikut. Mengapa jarak total sama dengan perpindahan total untuk grafik pada gambar (a), (b), (c), tetapi tidak pada gambar (d), dan (e)?

Diketahui :

Grafik a – e

Ditanyakan :

Jarak total dan kelajuan rata -rata= ..?

Jawaban :

Grafik a :

\( Jarak\quad total=\frac { \left( 12+4 \right) 8 }{ 2 } \\ Jarak\quad total=64m\\ v=\frac { 64 }{ 12 } \\ v=5,33㎧ \)

Grafik b :

\( Jarak\quad total=\frac { 10.20 }{ 2 } \\ Jarak\quad total=100m\\ v=\frac { 100 }{ 10 } \\ v=10㎧ \)

Grafik c ;

\( Jarak\quad total=\frac { 4.12 }{ 2 } +\frac { \left( 12+4 \right) 8 }{ 2 } +4.16+\frac { 4.10 }{ 2 } \\ Jarak\quad total=232m\\ v=\frac { 232 }{ 20 } \\ v=11,6㎧ \)

Grafik d :

\( Jarak\quad total=\left( 5+10 \right) \frac { 5 }{ 2 } +\left( 5+10 \right) \frac { 5 }{ 2 } \\ Jarak\quad total=105m\\ v=\frac { 105 }{ 20 } \\ v=5,25㎧ \)

Grafik e :

\( Jarak\quad total=\frac { 4.3 }{ 2 } +\frac { \left( 2+4 \right) 3 }{ 2 } \\ Jarak\quad total=15m\\ v=\frac { 15 }{ 8 } \\ v=1,875㎧ \)

perpindahan selalu lebih kecil atau sama dengan jarak yang ditempuh suatu benda. Perpindahan dapat bernilai positif atau negatif, bergantung dari arah gerak benda, sementara jarak selalu bernilai positif. Selain itu, perpindahan dapat bernilai nol jika benda bergerak ke titik awal, sedangkan jarak yang ditempuh tidak mungkin bernilai nol selama benda tersebut bergerak.

  1. Kecepatan suatu benda dinyatakan oleh v = at + b, dengan a = 2,4 m/s2 dan b = 30 m/s. Hitung jarak yang telah di tempuh benda mulai dari t = 0 sampai dengan t = 10 s.

Diketahui :

v = at + b

a = 2,4 m/s2

b = 30 m/s

Ditanyakan :

Jarak pada t = 0 – 10 s ?

Jawaban :

\( x=\int _{ 0 }^{ 10 }{ v\quad dt } \\ x=\int _{ 0 }^{ 10 }{ \left( 2,4t+20 \right) \quad dt } \\ x=\frac { 2,4{ t }^{ 2 } }{ 2 } +20t\\ x=\left[ \frac { 2,4{ .10 }^{ 2 } }{ 2 } +20.10 \right] \\ x=420\quad m \)

  1. Sebuah partikel P bergerak pada garis lurus dengan kecepatan pada saat t dinyatakan oleh v = 3t2 – 18t+ 15, t dalam sekon dan v dalam m/s. Tentukan perpindahan dan jarak yang ditempuh P antara :
    1. t = 0 dan t = 1
    2. t = 0 dan t = 2
    3. t = 2 dan t = 5
    4. t = 2 dan t = 6

Diketahui :

v = 3t2 – 18t+ 15

Ditanyakan :

Perpindahan dan jarak P :

  1. t = 0 dan t = 1
  2. t = 0 dan t = 2
  3. t = 2 dan t = 5
  4. t = 2 dan t = 6

Jawaban :

Pada t = 0 dan t = 1 :

\( \Delta x=\int _{ 0 }^{ 1 }{ v\quad dt } \\ \Delta x=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3{ t }^{ 2 }-18t+15 \right) \quad dt } \\ \Delta x={ t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+15t\\ \Delta x=7\quad m \)

Pada t = 0 dan t = 2 :

\( \Delta x=\int _{ 0 }^{ 2 }{ v\quad dt } \\ \Delta x=\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( 3{ t }^{ 2 }-18t+15 \right) \quad dt } \\ \Delta x={ t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+15t\\ \Delta x=2\quad m \)

Pada t = 2 dan t = 5 :

\( \Delta x=\int _{ 0 }^{ 2 }{ v\quad dt } \\ \Delta x=\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( 3{ t }^{ 2 }-18t+15 \right) \quad dt } \\ \Delta x={ t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+15t\\ \Delta x=125-225+75\\ \Delta x=-25\quad m \)

Perpindahan = 2 – (- 25) = 27

Pada t = 2 dan t = 6 :

\( \Delta x=\int _{ 0 }^{ 2 }{ v\quad dt } \\ \Delta x=\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( 3{ t }^{ 2 }-18t+15 \right) \quad dt } \\ \Delta x={ t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+15t\\ \Delta x=216-324+90\\ \Delta x=-18\quad m \)

Perpindahan = 2- (-18) = 20

  1. Seekor burung terbang pada bidang XY dengan vektor kecepatan yang dinyatakan oleh v = (α – β2) i + γt j, dengan α = 2,1 m/s, β = 3,6 m/s3, dan γ = 5,0 m/s2, arah y positif adalah vertical ke atas. Pada t = 0 burung berada dititik asal.
    1. Turunkan vektor posisi burung sebagai fungsi waktu.
    2. Tentukan posisi burung pada t = 2s.
    3. Berapa ketinggian burung (koordinat y) ketika burung terbang melalui x = 0 untuk pertama kalinya setelah t = 0 ?

Diketahui :

v= (α – β2) i + γt j

α = 2,1 m/s

β = 3,6 m/s3

γ = 5,0 m/s2

Ditanyakan :

  1. vektor posisi burung sebagai fungsi waktu ?
  2. posisi burung pada t = 2s ?
  3. ketinggian burung (koordinat y), x = , t = 0 ?

Jawaban :

vektor posisi burung sebagai fungsi waktu :

\( r\left( t \right) =0+\left( \alpha t-\frac { \beta { t }^{ 3 } }{ 3 } \right) i+\frac { { \gamma t }^{ 2 } }{ 2 } j\\ r\left( t \right) =\left( 2,1t-1,2{ t }^{ 3 } \right) i+2,5{ t }^{ 2 }j \)

posisi burung pada t = 2s :

\( r\left( t=2 \right) =0+\left( \alpha t-\frac { \beta { t }^{ 3 } }{ 3 } \right) i+\frac { { \gamma t }^{ 2 } }{ 2 } j\\ r\left( t=2 \right) =\left( 2,1t-1,2{ t }^{ 3 } \right) i+2,5{ t }^{ 2 }j\\ r\left( t=2 \right) =\left( 2,1.2-1,2{ .2 }^{ 3 } \right) i+2,5{ .2 }^{ 2 }j\\ r\left( t=2 \right) =-5,4i+10j \)

ketinggian burung (koordinat y), x = , t = 0 :

\( x\left( t \right) =2,1t-1,2{ t }^{ 3 }=0\\ t=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 7 } s\\ y\left( t \right) =2,5.\frac { 7 }{ 4 } \\ y\left( t \right) =4,375\quad m \)

  1. Dengan menggunakan kurva v-t yang ditunjukan di atas, tentukan percepatan pada t = 2 s dan t = 4 s dengan cara pendekatan grafis.

Diketahui :

Grafik v-t

Ditanyakan :

Percepatan pada t = 2 s dan t = 4 s ?

Jawaban :

Pada garis singgung grafik di t= 2s :

– titik 1 (2s ; 5,5 m/s)

– titik 2 (3s ; 10 m/s)

Maka :

\( a=\frac { \Delta v }{ \Delta t } \\ a=\frac { 10-5,5 }{ 3-2 } \\ a=4,5㎨ \)

Pada garis singgung grafik di t= 4s :

– titik 1 (1,5s ; 7 m/s)

– titik 2 (2,5s ; 8 m/s)

Maka :

\( a=\frac { \Delta v }{ \Delta t } \\ a=\frac { 8-7 }{ 2,5-1,5 } \\ a=1㎨ \)

  1. Sebuah bola golf dipukul dari suatu tee (tempat awal permainan golf) yang terletak pada tepi jurang. Koordinat x dan y terhadap waktu dinyatakan oleh persamaan berikut :

x = (18 m/s)t dan

y = (4 m/s)t – (4,9 m/s3)t2

Tuliskan persamaan vektor posisi r terhadap waktu dengan menggunakan vektor satuan i dan j.

Dengan menggunakan turunan, tentukan :

    1. Vektor kecepatan v terhadap waktu,
    2. Vektor percepatan a terhadap waktu,
    3. Koordinat x dan y dari bola golf pada t = 3 s,
    4. Kecepatan v pada t = 3 s,
    5. Percepatan a pada t = 3 s.

Diketahui :

x = (18 m/s)t dan

y = (4 m/s)t – (4,9 m/s3)t2

Ditanyakan :

  1. Vektor kecepatan v terhadap waktu,
  2. Vektor percepatan a terhadap waktu,
  3. Koordinat x dan y dari bola golf pada t = 3 s,
  4. Kecepatan v pada t = 3 s,
  5. Percepatan a pada t = 3 s.

Jawaban :

Vektor kecepatan v terhadap waktu :

\( \overrightarrow { r } =18ti+4t-4,9{ t }^{ 2 } \)

Vektor percepatan a terhadap waktu :

\( \overrightarrow { v } =\frac { dr }{ dt } \\ \overrightarrow { v } =\frac { 18ti+4t-4,9{ t }^{ 2 } }{ dt } \\ \overrightarrow { v } =18i+\left( 4-9,8t \right) j\\ \overrightarrow { a } =\frac { dv }{ dt } \\ \overrightarrow { a } =\frac { 18i+\left( 4-9,8t \right) j }{ dt } \\ \overrightarrow { a } =-9,8j \)

Koordinat x dan y dari bola golf pada t = 3 s :

\( \overrightarrow { x } \left( t=3s \right) =18.3\\ \overrightarrow { x } \left( t=3s \right) =54\quad m\\ \overrightarrow { y } \left( t=3s \right) =4.3-4,9.{ 3 }^{ 2 }\\ \overrightarrow { y } \left( t=3s \right) =-32,1\quad m \)

Kecepatan v pada t = 3 s :

\( \overrightarrow { v } \left( t=3s \right) =18i-\left( 4.9,8.3 \right) j\\ \overrightarrow { v } \left( t=3s \right) =18i-25,4j \)

Percepatan a pada t = 3 s :

\( \overrightarrow { a } \left( t=3s \right) =-9,8j\\ \overrightarrow { a } \left( t=0s \right) =-9,8j \)

  1. Koordinat suatu benda dinyatakan sebagai x(t) = -(1,6 m/s3)t3 + (2,1 m/s2)t2 – 42 m.
    1. Tulis persamaan untuk percepatan a (t)
    2. Tentukan percepatan pada t = 4,0 s
    3. Berapa percepatan awal benda ?

Diketahui :

x(t) = -(1,6 m/s3)t3 + (2,1 m/s2)t2 – 42 m

Ditanyakan :

  1. persamaan untuk percepatan a (t) ?
  2. percepatan pada t = 4,0 s ?
  3. percepatan awal benda ?

Jawaban :

persamaan untuk percepatan a (t) :

\( \overrightarrow { a } =\frac { d }{ dt } \left\{ \frac { d }{ dt } \left( { 1,6t }^{ 3 }+{ 2,1t }^{ 2 }-42 \right) \right\} \\ \overrightarrow { a } =\frac { d }{ dt } \left( { -4,8 }t^{ 2 }+{ 4,2 }t \right) \\ \overrightarrow { a } =-9,6t+4,2㎨ \)

percepatan pada t = 4,0 s :

(t= 4s) = -9,6 . 4 + 4,2

(t= 4s) = – 3,4 m/s2

percepatan awal benda :

(t= 0s) = -9,6 . 0 + 4,2

(t= 0s)  = 4,2 m/s2

  1. Suatu benda mulai bergerak dengan kecepatan awal 5,0 m/s dan mengalami percepatan yang berubah terhadap waktu seperti ditunjukan pada kurva di bawah ini. Tentukan kecepatan benda pada :

    1. t = 1 s,
    2. t = 4 s,
    3. t = 8 s.

Diketahui :

Kecepatan awal = 5 m/s

Ditanyakan :

Kecepatan benda pada :

  1. t = 1 s ?
  2. t = 4 s ?
  3. t = 8 s ?

Jawaban :

Pada t = 1s :

\( v\left( t=1s \right) =vo+\left( \frac { 8+b }{ 2 } \right) 1\\ v\left( t=1s \right) =5+\left( \frac { 8+b }{ 2 } \right) 1 \)

\( \frac { c }{ 3 } =\frac { 1 }{ 2 } \\ c=\frac { 3 }{ 2 } \\ b=5+c\\ b=5+\frac { 3 }{ 2 } \\ b=6,5 \)

v(t = 1s) = 5 + (8 + 6,5) ½

v(t = 1s) = 12,25 m/s

Pada t=4s :

v(t = 4s) = vo + luas trapezium I + luas persegi

v(t = 4s) = 5 + ½ (8+5)2 + 5(4–2)

v(t = 4s) = 28 m/s

Pada t = 8 s :

 

v(t = 8s) = vo + luas trapezium I + luas persegi + luas trapezium II

v(t = 8s) = 5 + ½ (8+5)2 + 5(6–2) + ½ (5+d)2

v(t = 8s) = 38 + ½ (5+4)2

v(t = 8s) = 47 m/s

\( \frac { e }{ 2 } =\frac { 2 }{ 4 } \\ c=1\\ d=e+3\\ d=1+3\\ d=4 \)

Untuk soal nomor 19 dan 20

Sebuah partikel P bergerak dengan percepatan a. tentukan vektor kecepatan dan vektor posisi P pada saat t.

  1. a = 2i + j. Mula-mula P diam di titik 4i + j

Diketahui :

a = 2i + j. Mula-mula P diam di titik 4i + j

Ditanyakan :

vektor kecepatan dan vektor posisi P pada saat t= ..?

Jawaban :

\( \overrightarrow { r } \)​(t= 0s) = 4i + j

\( \overrightarrow { v } \)​(t= 0s) = 0

\( \overrightarrow { v } =\overrightarrow { v } \left( t=0s \right) +\int { \left( 2i+j \right) dt } \\ \overrightarrow { v } =2ti+tj \)

\( \overrightarrow { r } =\overrightarrow { r } \left( t=0s \right) +\int { \left( 2i-tj \right) dt } \)

\( \overrightarrow { r } \)​= 4i + j + (t2 i + ½ t2 j)

\( \overrightarrow { r } \)​= (4 + t2) i + (1 + ½ t2)j

  1. a = 16t2 i + 9t j. Mula-mula pertikel di titik asal dan kemudian bergerak dengan kecepatan i + 2j.

Diketahui :

a = 16t2 i + 9t j

i + 2j

Ditanyakan :

vektor kecepatan dan vektor posisi P pada saat t= ..?

Jawaban :

\( \overrightarrow { r } \left( t=0s \right) =0\\ \overrightarrow { v } \left( t=0s \right) =i+2j\\ \overrightarrow { v } =\overrightarrow { v } \left( t=0s \right) +\int { \left( 16{ t }^{ 2 }i+9tj \right) dt } \\ \overrightarrow { v } =i+2j+\frac { { 16t }^{ 3 } }{ 3 } i+\frac { { 9t }^{ 2 } }{ 2 } j\\ \overrightarrow { v } =\left( 1+\frac { { 16t }^{ 3 } }{ 3 } \right) i+\left( 2+\frac { { 9t }^{ 2 } }{ 2 } \right) j\\ \overrightarrow { r } =\overrightarrow { r } \left( t=0s \right) +\int { \overrightarrow { v } dt } \\ \overrightarrow { r } =0+\left( t+\frac { 16 }{ 3.4 } { t }^{ 4 } \right) i+\left( 2t+\frac { 9 }{ 2.3 } { t }^{ 3 } \right) j\\ \overrightarrow { r } =\left( t+\frac { 16 }{ 3.4 } { t }^{ 4 } \right) i+\left( 2t+\frac { 3 }{ 2 } { t }^{ 3 } \right) j\\ \)

  1. Sebuah sepeda motor bergerak pada bidang XY dengan percepatan a = αt2 i + βt j, dengan α = 1,2 m/s2 dan β = 3,5 m/s3.
    1. Anggaplah sepeda motor berada pada keadaan diam di titik asal pada t = 0. Turunkan persamaan untuk vektor kecepatan dan posisi sebagai fungsi waktu.
    2. Buatlah sketsa lintasan sepeda motor.
    3. Tentukan besar dan arah kecepatan pada t = 3,0 s.

Diketahui :

a = αt2 i + βt j

α = 1,2 m/s2

β = 3,5 m/s3

Ditanyakan :

  1. turunan persamaan untuk vektor kecepatan dan posisi sebagai fungsi waktu ?
  2. sketsa lintasan sepeda motor ?
  3. besar dan arah kecepatan t = 3,0 s ?

Jawaban :

turunan persamaan untuk vektor kecepatan dan posisi sebagai fungsi waktu :

\( \overrightarrow { a } =1,2{ t }^{ 3 }+3,5tj\\ \overrightarrow { v } \left( t=0s \right) =0\\ \overrightarrow { r } \left( t=0s \right) =0\\ \overrightarrow { v } \left( t \right) =0+\int { \overrightarrow { a } dt } \\ \overrightarrow { v } \left( t \right) =\frac { 1,2{ t }^{ 3 } }{ 3 } i+3,5\frac { { t }^{ 2 } }{ 3 } j\\ \overrightarrow { v } \left( t \right) =0,4{ t }^{ 3 }i+{ 1,7t }^{ 2 }j\\ \overrightarrow { r } \left( t \right) =0+\int { v\quad dt } \\ \overrightarrow { r } \left( t \right) =0,1{ t }^{ 4 }+0,58{ t }^{ 3 }j \)

sketsa lintasan sepeda motor :

besar dan arah kecepatan t = 3,0 s :

\( \overrightarrow { v } \left( t=3s \right) =0,4.{ 3 }^{ 3 }i+1,75.{ 3 }^{ 2 }j\\ \overrightarrow { v } \left( t=3s \right) =1,2.{ 3 }^{ 2 }i+1,75.{ 3 }^{ 2 }j\\ \left| \overrightarrow { v } \right| ={ 3 }^{ 2 }\sqrt { 1{ ,2 }^{ 2 }+1,75^{ 2 } } \\ \left| \overrightarrow { v } \right| =9\sqrt { 4,5 } \\ \left| \overrightarrow { v } \right| =19㎧\\ \tan \theta =\frac { 1,75 }{ 1,2 } \\ \theta =55,6° \)

Posisi, Kecepatan, dan Percepatan Sudut pada Gerak Melingkar

  1. Sebuah penggulung dalam suatu mesin cetak berputar melalui sudut θ(t), yang dapat dinyatakan oleh persamaan θ(t) = 2,50t2 – 0,400t, dengan t dalam sekon dan θ dalam radian.
    1. Hitung kecepatan sudut sebagai fungsi waktu t.
    2. Hitung kecepatan sudut penggulung pada t = 0, t = 1 sekon, t = 2 sekon.
    3. Kapankah roda itu berhenti sesaat ?

Diketahui :

θ(t) = 2,50t2 – 0,400t

Ditanyakan :

  1. kecepatan sudut sebagai fungsi waktu t ?
  2. kecepatan sudut penggulung pada t = 0, t = 1 sekon, t = 2 sekon. ?
  3. roda itu berhenti sesaat ?

Jawaban :

Kecepatan sudut sebagai fungsi waktu :

ω =​\( \frac { d\theta }{ dt } \)

ω = ( 5t – 0,4) rad/s

kecepatan sudut penggulung pada t = 0, t = 1 sekon, t = 2 sekon :

ω(t = 0 s) = – 0,4 rad/s

ω(t = 1 s) = 5 . 1 – 0,4

ω(t = 1 s) = 4,6 rad/s

ω(t = 2 s) = 5 . 2 – 0,4

ω(t = 2 s) = 9,6 rad/s

Waktu roda berhenti sesaat :

ω(t ) = 0

5t – 0,4= 0

t = 0,08 s

  1. Sebuah penggulung dalam suatu mesin cetak berputar melalui sudut θ(t) yang diberikan oleh θ(t) = pt2 – qt3, dengan p = 2,50 rad/s2 dan q = 0,400 rad/s3.
    1. Hitung kecepatan sudut penggulung sebagai fungsi waktu.
    2. Hitung percepatan sudut penggulung sebagai fungsi waktu.
    3. Berapa kecepatan sudut positif maksimum dan berapa nilai t pada saat itu ?

Tips : kecepatan sudut maksimum terjadi jika ​\( \frac { d\theta }{ dt } =0 \)

Diketahui :

θ(t) = pt2 – qt3

p = 2,50 rad/s2

q = 0,400 rad/s3.

Ditanyakan :

  1. kecepatan sudut penggulung sebagai fungsi waktu ?
  2. percepatan sudut penggulung sebagai fungsi waktu ?
  3. kecepatan sudut positif maksimum, nilai t pada saat itu ?

Jawaban :

Kecepatan sudut penggulung sebagai fungsi waktu :

\( \theta \left( t \right) =0+\alpha t-\frac { \beta { t }^{ 3 } }{ 3 } \\ \theta \left( t \right) =4t-0,3{ t }^{ 3 } \)

Percepatan sudut penggulung sebagai fungsi waktu :

\( \alpha =-2\beta t\\ \alpha =-2.0,9.t\\ \alpha =-1,8t \)

Kecepatan sudut positif maksimum, nilai t pada saat itu :

\( \alpha =-1,8t\\ \alpha =-1,8.2\\ \alpha =-3,6㎯ \)

  1. Sebuah kincir yang berputar memiliki kecepatan sudut yang dinyatakan oleh ω(t) = a – br2, dengan a = 4,00 rad/s dan b = 0,900 rad/s3
    1. Nyatakan persamaan posisi sudutnya
    2. Hitung percepatan sudut sebagai fungsi waktu
    3. Hitung percepatan sudut pada t = 2,00 s
    4. Hitung percepatan sudut rata-rata dalam selang waktu dari t = 0 sampai dengan t = 2,00 s. Bagaimana besaran ini dibandingkan dengan besaran pada (c) ?

Diketahui :

ω(t) = a – br2

a = 4,00 rad/s

b = 0,900 rad/s3

Ditanyakan :

  1. persamaan posisi sudutnya ?
  2. percepatan sudut sebagai fungsi waktu ?
  3. percepatan sudut pada t = 2,00 s ?
  4. percepatan sudut rata-rata dalam selang waktu dari t = 0 sampai dengan t = 2,00 s, serta perbandingan dengan besaran pada (c) ?

Jawaban :

Jawaban a :

\( \theta \left( t \right) =\theta \left( t=0s \right) +\int { \omega \left( t \right) dt } \\ \theta \left( t \right) =0+at-\frac { { bt }^{ 3 } }{ 3 } \\ \theta \left( t \right) =4t-\frac { { 0,9t }^{ 3 } }{ 3 } \\ \theta \left( t \right) =4t-{ 0,3t }^{ 3 } \)

Jawaban b :

\( \alpha =\frac { d\omega }{ dt } \\ \alpha =-2bt\\ \alpha =-2.0,9.t\\ \alpha =-1,8t \)

Jawaban c :

\( \alpha \left( t=2s \right) =-1,8t\\ \alpha \left( t=2s \right) =-1,8.2\\ \alpha \left( t=2s \right) =-3,6㎯ \)

Jawaban d :

\( \alpha =\frac { \Delta \omega }{ \Delta t } \\ \alpha =\frac { \omega \left( t=2 \right) -\omega \left( t=0 \right) }{ 2-0 } \\ \alpha =\frac { 4-0,9.{ 2 }^{ 2 }.-4-0 }{ 2 } \\ \alpha =-1,8㎯ \)

  1. Sebuah roda sepeda dengan jari-jari 0,33 m berputar dengan percepatan sudut α(t) = (1,40 rad/s2) – (0,20 rad/s3)t. Roda berada dalam keadaan diam pada t = 0.
    1. Hitung kecepatan sudut dan perpindahan sudut sebagai fungsi waktu.
    2. Hitung kecepatan sudut positif maksimum dan perpindahan sudut positif maksimum roda.

Diketahui :

α(t) = (1,40 rad/s2) – (0,20 rad/s3)t

Ditanyakan :

  1. kecepatan sudut dan perpindahan sudut sebagai fungsi waktu ?
  2. kecepatan sudut positif maksimum dan perpindahan sudut positif maksimum roda ?

Jawaban :

kecepatan sudut dan perpindahan sudut sebagai fungsi waktu :

\( \omega =\omega \left( t=0s \right) +\int { \alpha } dt\\ \omega =0+1,4t-\frac { 0,2 }{ 2 } { t }^{ 2 }\\ \omega =1,4t+0,1{ t }^{ 2 }\\ \theta \left( t \right) =\theta \left( t=0s \right) +\int { \omega } dt\\ \theta \left( t \right) =0+14\frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } -0,1\frac { t^{ 3 } }{ 3 } \\ \Delta \theta \left( t \right) =0,7{ t }^{ 2 }-\frac { 0,1t^{ 3 } }{ 3 } \)

kecepatan sudut positif maksimum dan perpindahan sudut positif maksimum roda :

ωmax jika ​\( \frac { d\omega }{ dt } =0 \)

1,4 – 0,2t = 0

t = 1,4/0,2

t = 7 s

ωmax = 1,4 . 7 – 0,1 . 72

ωmax = 4,9 rad/s

Δθmax jika ​\( \frac { d\theta }{ dt } =0 \)

1,4t – 0,1t2 = 0

t = 1,4 /0,1

t = 14 s

Δθmax = ​\( 0,7.{ \left( 14 \right) }^{ 2 }-\frac { 0,1 }{ 3 } { \left( 14 \right) }^{ 3 } \)

Δθmax = 45,7 rad

  1. Pelempar cakram sering melakukan pemanasan dengan berdiri dengan kedua kakinya rata pada tanah dan melempar cakram dengan gerakan memutar badannya. Mulai dari keadaa diam, pelempar mempercepat cakram sampai keadaan sudut akhir 15,0 rad/s dalam waktu 0,270s sebelum melepasnya. Selama percepatan, cakram bergerak pada suatu busur lingkaran denga jari-jari 0,810 m. Tentukan :
    1. Besar percepatan total tepat sebelum cakram lepas dari tangan pelempar,
    2. Sudut yang dibentuk percepatan total terhadap arah radial.

Diketahui :

r = 0,81 m

ωo = 0

ω = 15 rad/s

t = 0,27 s

Ditanyakan :

  1. Besar percepatan total tepat sebelum cakram lepas dari tangan pelempar ?
  2. Sudut yang dibentuk percepatan total terhadap arah radial ?

Jawaban :

Besar percepatan total tepat sebelum cakram lepas dari tangan pelempar :

\( \alpha t=\alpha .r\\ \alpha t=\frac { \omega -\omega o }{ \Delta t } r\\ \alpha t=\frac { 15-0 }{ 0,27 } .0,81\\ \alpha t=45㎨\\ \alpha s=\frac { { v }^{ 2 } }{ r } \\ \alpha s={ \omega }^{ 2 }r\\ \alpha s={ 15 }^{ 2 }.0,81\\ \alpha s=182,25㎨\\ \alpha =\sqrt { { \alpha t }^{ 2 }+{ \alpha s }^{ 2 } } \\ \alpha =\sqrt { { 45 }^{ 2 }+{ 182,25 }^{ 2 } } \\ \alpha =187,72㎨ \)

Sudut yang dibentuk percepatan total terhadap arah radial :

\( \tan { \theta =\frac { at }{ as } } \\ \tan { \theta } =\frac { 45 }{ 182,25 } \\ \theta =13,87° \)

  1. Daya listrik yang menggerakan suatu roda gerinda dipadamkan pada saat roda sedang berputar dengan kecepatan sudut 8,6 rad/s. Suatu gaya gesekan kecil pada poros putaran menyebabkan suatu perlambatan sudut tetap sehingga akhirnya roda berhenti dalam waktu 192s. Tentukan :
    1. Percepatan sudut;
    2. Jarak yang telah ditempuh suatu partikel roda mulai dari ketika daya listrik padam sampai pada saat roda berhenti. Jari-jari roda gerinda 10 cm.

Diketahui :

ω­o = 8,6 rad/s

ω = 0 rad/s

Δt = 192 s

r = 10 cm

Ditanyakan :

  1. Percepatan sudut ?
  2. Jarak yang telah ditempuh suatu partikel roda mulai dari ketika daya listrik padam sampai pada saat roda berhenti ?

Jawaban :

Percepatan sudut :

\( \alpha =\frac { \omega +\omega o }{ \Delta t } \\ \alpha =\frac { -8,6-0 }{ 192 } \\ \alpha =-0,045㎯ \)

Jarak yang ditempuh :

Δθ = ω­o t + ½ α t2

Δθ = 8,6 . 192 + ½ ( -0,045) (192)2

Δθ = 1651,12 – 825,44

Δθ = 820,76 rad

s = Δθ . r

s = 820,76 . 10

s = 8207,6 cm

Gerakan Parabola

  1. Seekor lumba-lumba berenang dengan kecepatan 10 km/jam dalam arus laut dalam arah 30o terhadap arah arus laut/. Arus laut sedang bergerak sejajar terhadap pantai pad kecepatan 3,0 km/jam. Berapakah vektor kecepatan (besar dan arah) lumba-lumba relatif terhadap garis pantai?

Diketahui :

V1 = 10 km/jam

V2 = 3 km/jam

Ditanyakan :

Vektor (besar dna rah) ;umba-lumba terhadap garis pantai ?

Jawaban :

\( \overrightarrow { v } r=\sqrt { \overrightarrow { { v1 }^{ 2 } } +\overrightarrow { v2^{ 2 } } +2.\overrightarrow { v1 } .\overrightarrow { v2 } .\cos { 30° } } \\ \overrightarrow { v } r=\sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+2.10.3.\cos { 30° } } \\ \overrightarrow { v } r=12,7\quad km/jam\\ \frac { v1 }{ \sin { \alpha } } =\frac { vr }{ \sin { 30° } } \\ \sin { \alpha } =\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 10 }{ 12,7 } \\ \sin { \alpha } =\frac { 5 }{ 12,7 } \\ \alpha =23° \)

  1. Sebuah perahu motor dapat bergerak dengan kelajuan 3 m/s melalui arus sungai yang tenang. Perahu ini akan digunakan untuk menyebrangi sungai yang kecepatan arusnya 2 m/s . untuk itu, kemudi perahulangsung diarahkan tegak lurus ke sebrang. Berapa jarak yang ditempuh perahu tersebut dalam 1 sekon jika:

    1. Melalui arus yang tenang,
    2. Melalui arus dengan kecepatan 2 m/s?
    3. Berapa vektor kecepatan perahu terhadap pengamat yang diam di tepi sungai ?

Diketahui :

vp = 3 m/s

va =2 m/s

t = 1 sekon

Ditanyakan :

Jarak pada :

  1. arus yang tenang ?
  2. kecepatan 2 m/s ?
  3. vektor kecepatan perahu terhadap pengamat yang diam di tepi sungai ?

Jawaban :

Jarak pada arus yang tenang :

\( x=\overrightarrow { vp } .a\\ x=3.1\\ x=3 \)

Jarak pada kecepatan 2 m/s :

\( x=\overrightarrow { vpa } .t\\ x=\sqrt { { vp }^{ 2 }+{ va }^{ 2 }.t } \\ x=\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }.1 } \\ x=\sqrt { 13 } m \)

vektor kecepatan perahu terhadap pengamat yang diam di tepi sungai :

\( \overrightarrow { vpa } =3.1\\ \overrightarrow { vpa } =3\\ v=\sqrt { vp^{ 2 }+{ va }^{ 2 } } \\ v=\sqrt { 3^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } \\ v=\sqrt { 13 } ㎧\\ \tan { \theta =\frac { \overrightarrow { vp } }{ \overrightarrow { va } } } \\ \tan { \theta =\frac { 3 }{ 2 } } \\ \theta =56,3°\quad terhadap\quad arus \)

  1. Seorang laki-laki berjalan dengan kecepatan 2 m/s menyebrangi lantai sebuah gerbong kereta api yang sedang bergerak kedepan dengan kecepatan 8 m/s.
    1. Berapa jauh laki-laki itu menyebrangi gerbong dalam 1 sekon ?
    2. Berapa jauh gerbong bergerak dalam satu sekon ?
    3. Berapa jauh laki-laki itu sesungguhnya bergerak terhadap tanah dalam 1 sekon ?
    4. Dalam arah mana laki-laki itu bergerak relative terhadap arah memanjang rel?
    5. Berapa kecepatan laki-laki itu (kelajuan dan arahnya) terhadap orang yang dian di tepi rel?

Diketahui :

Kecepatan orang = 2 m/s

Kecepatan kereta = 8 m/s

Ditanyakan :

  1. jarak laki-laki itu menyebrangi gerbong dalam 1 sekon ?
  2. jarak gerbong bergerak dalam satu sekon ?
  3. jarak laki-laki itu sesungguhnya bergerak terhadap tanah dalam 1 sekon ?
  4. arah mana laki-laki itu bergerak relative terhadap arah memanjang rel?
  5. kecepatan laki-laki itu (kelajuan dan arahnya) terhadap orang yang dian di tepi rel?

Jawaban :

Jawaban a :

ΔXL = VL t

ΔXL = 2 .1

ΔXL = 2

Jawaban b :

ΔXK = VL t

ΔXK= 8 .1

ΔXK = 8

Jawaban c :

\( \Delta XLK=\sqrt { { \Delta XL }^{ 2 }+{ \Delta XK }^{ 2 } } \\ \Delta XLK=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } \\ \Delta XLK=2\sqrt { 17 } m \)

Jawaban d :

\( \tan { \frac { \Delta XL }{ \Delta XK } =\frac { 2 }{ 8 } } \\ \tan { \frac { \Delta XL }{ \Delta XK } =\frac { 1 }{ 4 } } \\ \theta =14° \)

Jawaban e :

\( VLK=\frac { \Delta XLK }{ t } \\ VLK=\frac { 2\sqrt { 17 } }{ 1 } \\ VLK=2\sqrt { 17 } ㎧ \)

α = 90o – θ

α = 90o – 14

α = 76o

  1. Sebuah mobil mainan meluncur dari sisi meja yang tingginya 1,25 m dari lantai. Jika mobil mendarat di lantai 0,40 m dari kaki meja,
    1. Berapa lama diperlukan mobil untuk mendarat di lantai;
    2. Berapa kecepatan mobil meluncur dari sisi meja;
    3. Berapa kecepatan mobil pada saat menumbuk lantai?

Diketahui :

Tinggi = 1,25 m

Mobil mendarat = 0,40 m

Ditanyakan :

  1. waktu mobil mendarat di lantai ?
  2. kecepatan mobil dari sisi meja ?
  3. kecepatan mobil menumbuk lantai?

Jawaban :

waktu mobil mendarat di lantai :

\( t=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \\ t=\sqrt { \frac { 2.1,25 }{ 10 } } \\ t=\sqrt { 0,25 } \\ t=0,5\quad s \)

kecepatan mobil dari sisi meja :

\( Vx=\frac { x }{ t } \\ Vx=\frac { 0,4 }{ 0,5 } \\ Vx=0,8\quad ㎧ \)

kecepatan mobil menumbuk lantai :

\( Va=\sqrt { { Vx }^{ 2 }+{ Vy }^{ 2 } } \\ Va=\sqrt { { 0,8 }^{ 2 }+{ \left( -10.0,5 \right) }^{ 2 } } \\ Va=5,06㎧ \)

  1. Sebuah batu yang di lempar kan dengan sudut elevasi 30o, ternyata menumbuk tembok sebuah gedung yang berada m di depan tempat pelemparan dan 15 m di atas titik pelemparan. Hitunglah :
    1. Kelajuan awal batu itu;
    2. Besar dan arah kecepatan batu pada saat menumbuk tembok.

Diketahui :

Sudut = 30o

Di atas titik pelemparan = 15 m

Ditanyakan :

  1. Kelajuan awal batu ?
  2. Besar dan arah kecepatan menumbuk tembok ?

Jawaban :

\( Vx=\frac { x }{ t } \\ Vo\cos { 30 } =\frac { x }{ t } \\ Vo=\frac { x }{ t.\cos { 30 } } \\ Vo=\frac { 2\sqrt { 3 } }{ t.\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } } \\ Vo=\frac { 40 }{ t } \\ Vot=40 \)

Kelajuan awal batu :

\( y=voy.t+\frac { 1 }{ 2 } g{ t }^{ 2 }\\ y=vo\sin { 30° } .t+\frac { 1 }{ 2 } .10.{ t }^{ 2 }\\ 30=vo.t-10{ t }^{ 2 }\\ 30=40-10{ t }^{ 2 }\\ 10{ t }^{ 2 }=10\\ t=1\\ vo.t=40\\ vo\left( 1 \right) =40\\ vo=40㎧ \)

Besar dan arah kecepatan menumbuk tembok :

\( Vy=\frac { vo }{ 2 } -10.1\\ Vy=\frac { 40 }{ 2 } -10\\ Vy=10㎧\\ Vx=Vox\\ Vx=\frac { 40\sqrt { 3 } }{ 2 } \\ Vx=20\sqrt { 3 } ㎧\\ v=\sqrt { { Vx }^{ 2 }+{ Vy }^{ 2 } } \\ v=\sqrt { \left( 20\sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }+{ 10 }^{ 2 } } \\ v=10\sqrt { 3 } ㎧\\ \tan { \theta } =\frac { 10 }{ 20\sqrt { 3 } } \\ \tan { \theta } =\frac { 1 }{ 6 } \sqrt { 3 } \\ \theta =19,1°\\ \)

  1. Sebuah pesawat terbang menukik ke bawah membuat sudut 37o terhadap bidang horizontal, dan saat ketinggiannya 800 m di atas tanah, sebuah karung pasir di jatuhkan. Jika karung itu tiba di tanah setelah 5 detik sejak dijatuhkan, hitung:
    1. Kelajuan awal pesawat itu;
    2. Jarak horizontal yang ditempuh karung
    3. Komponen-komponen horizontal dan vertical pada saat menumbuk tanah

Diketahui :

Sudut = 37o

Ketinggian = 800 m

Waktu = 5 detik

Ditanyakan :

  1. Kelajuan awal ?
  2. Jarak horizontal karung ?
  3. Komponen-komponen horizontal dan vertical pada saat menumbuk tanah ?

Jawaban :

Vox = vo sin 37o

Vox = 0,8 vo

Voy = – vo sin 37o

Voy = – 0,6 vo

Jawaban a :

y = voy . t + ½ gt2

– 800 = -0,6vo . 5 + ½ (-10) 52

Vo = 225 m/s

Jawaban b :

x = vox . t

x = 0,8 vo . t

x = 0,8 . 225 . 5

x = 900 m

Jawaban c :

Vax = vox

Vax = 0,8 vo

Vax = 0,8 . 225

Vax = 180 m/s

Vay = voy + at

Vay = – 0,6 vo – gt

Vay = – 0,6 . 225 – 10 . 5

Vay = – 185 m/s

  1. Seorang pemain sepak bola melakukan tendangan bebas dengan sudut elevasi 22,5o dan bola tersebut mendarat ditanah pada jarak sejauh 30 m. Berapakah jarak terjauh maksimum yang dapat di capai bola bila di tendang dengan kecepatan yang sama seperti pada tendangan sebelumnya?

Diketahui :

α1 = 22,5o

1 = 45o

Xmax 0 = 30 m

Xmax 0 = ​\( \frac { { Vo }^{ 2 } }{ g } \sin { 2\alpha } \)

Ditanyakan :

Xmax =  ..?

Jawaban :

Bbola ditendang dengan sudut elevasi α = 22,5°

Xm = Vo² sin 2α / g

30 = Vo² sin (2·22,5°) / 10

300 = Vo² · ½√2

Vo² = 300√2 m/s²

Bola ditendang dengan sudut elevasi α = 45°

Xm’ = Vo² sin 2α’ / g

Xm’ = 300√2 sin 90° / 10

Xm’ = 300√2 / 10

Xm’ = 30√2 m

Jangkauan terjauh terjadi jika sudut elevasi α’ = 45°

Maka Jangkauan terjauh adalah  30√2 m.

  1. Sebutir peluru mortir ditembakan pada sudut elevasi 53o (sin 53o = 0,8) dengan kelajuan 98 m/s. Ambil g = 9,8 m/s2
    1. Berapa lama peluru berada di udara ?
    2. Berapa jarak terjauh peluru sebelum menumbuk tanah ?
    3. Berapa ketinggian maksimum yang di capai peluru?

Diketahui :

sudut elevasi 53o

sin 53o = 0,8

kelajuan = 98 m/s

g = 9,8 m/s2

Ditanyakan :

  1. waktu peluru di udara ?
  2. jarak terjauh peluru sebelum menumbuk tanah ?
  3. ketinggian maksimum peluru?

Jawaban :

waktu peluru di udara :

\( t=\frac { 2Voy }{ g } \\ t=\frac { 2Vo\sin { 53° } }{ g } \\ t=\frac { 2.98.9,8 }{ 9,8 } \\ t=16\quad s\\ \)

jarak terjauh peluru sebelum menumbuk tanah :

\( Xmax=\frac { { Vo }^{ 2 } }{ g } \sin { 2\alpha } \\ Xmax=\frac { { 98 }^{ 2 } }{ 9,8 } \sin { 106 } \\ Xmax=941\quad m \)

ketinggian maksimum peluru :

\( Ymax=\frac { { Vo }^{ 2 } }{ 2g } { sin }^{ 2 }\alpha \\ Ymax=\frac { { 98 }^{ 2 } }{ 2.9,8 } { .0,8 }^{ 2 }\\ Ymax=314\quad m \)

  1. Dengan sudut elevasi berapakah sebutir peluru yang di beri kecepatan awal 300 m/s harus di tembakan agar dapat mencapai sasaran 4,5 km didepan tempat penembakan ? berapa selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak itu ?(ada dua kemungkinan)

Diketahui :

Vo             = 300 m/s

Xmax         = 4,5 km = 4500 m

Ditanyakan :

Selang waktu = ..?

Jawaban :

Voy = Voy sin α

Voy = 300 sin α

\( Xmax=\frac { { Vo }^{ 2 } }{ g } \sin { 2\alpha } \\ 4500=\frac { { 300 }^{ 2 } }{ 10 } \sin { 2\alpha } \\ \sin { 2\alpha } =\frac { 1 }{ 2 } \\ 2\alpha =30°\\ \alpha =15° \)

  1. Sebuah bola di lempar dengan sudut elevasi 45o dan mencapai jarak horizontal 20 m. Jika g = 9,8 m/s, tentukanlah :
    1. Tinggi maksimum yang di capai bola itu;
    2. Sudut elevasi bola harus dilemparkan agar mencapai jarak horizontal 12 m dengan kecepatan awal seperti (a) (ada dua kemungkinan)

Diketahui :

sudut elevasi = 45o

jarak horizontal = 20 m

g = 9,8 m/s2

Ditanyakan :

  1. Tinggi maksimum bola ?
  2. Sudut elevasi bola , jika jarak horizontal 12 m dengan kecepatan awal sama ?

Jawaban :

Tinggi maksimum bola :

\( Xmax=\frac { { Vo }^{ 2 } }{ g } \sin { 2\alpha } \\ { Vo }^{ 2 }=\frac { Xmax.g }{ \sin { 2\alpha } } \\ { Vo }^{ 2 }=\frac { 20.9,8 }{ 1 } \\ Vo=196\quad m\\ Ymax=\frac { { Vo }^{ 2 } }{ 2g } { sin }^{ 2 }\alpha \\ Ymax=\frac { 196.{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } \right) }^{ 2 } }{ 2.9,8 } \\ Ymax=5\quad m \)

Sudut elevasi bola :

Xmax1 = 12 m

Vo = 14 m/s

\( \frac { Xmax1 }{ Xmax } =\frac { 12 }{ 20 } \\ \frac { 12 }{ 20 } =\frac { { Vo }^{ 2 }\sin { 2\alpha 1 } }{ { Vo }^{ 2 }\sin { 2\alpha 2 } } \\ { Vo }^{ 2 }\sin { 2\alpha 1 } =\frac { 12 }{ 20 } \sin { 90 } \\ { Vo }^{ 2 }\sin { 2\alpha 1 } =0,6\\ 2\alpha 1=37°\\ \alpha 1=18,5° \)

  1. Seorang pemain softball melempar bola sedemikian sehingga bola mencapai jarak terjauh maksimum 48 m. Berapa tinggi maksimum yang di capai bola pada pelemparan ini ?

Diketahui :

Jarak tejauh = 48 m

Ditanyakan :

Tinggi maksimum bola = ..?

Jawaban :

Xmax = 48

α = 45o

Jarak terjauh maksimum tercapai jika sudut elevasi α = 45°.

Xmax = Vo² sin 2α / g

48 = Vo² sin (2•45°) / 10

Vo² = 480 m²s²

Ymax = Vo² sin²α / 2g

Ymax = 480 • (½√2)² / 20

Ymax = 12 m

  1. Sebuah partikel yang mengalami gerak parabola, posisinya pada saat t ditentukan oleh koordinat (x,y) dengan x = 6t dan y = 12t – 5t2. Jika x dan y dama m, t dalam s, tentukan :
    1. Kecepatan awal;
    2. Sudut elevasi;
    3. Lama partikel di udara;
    4. Ketinggian maksimum;
    5. Jarak terjauh;
    6. Kecepatan horizontal pada titik tertinggi.

Diketahui :

x = 6t

y = 12t – 5t2

Ditanyakan :

  1. Kecepatan awal ?
  2. Sudut elevasi ?
  3. Lama partikel di udara ?
  4. Ketinggian maksimum ?
  5. Jarak terjauh ?
  6. Kecepatan horizontal pada titik tertinggi ?

Jawaban :

Kecepatan awal :

\( \overrightarrow { vt } =\frac { dx }{ dt } i+\frac { dy }{ dt } j\\ \overrightarrow { vt } =6i+\left( 12-10t \right) j\\ \overrightarrow { v } \left( t=0s \right) =6i+12j\\ \left| \overrightarrow { vo } \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 } } \\ \overrightarrow { vo } =6\sqrt { 5 } ㎧ \)

Sudut elevasi :

\( \tan { \alpha } =\frac { 12 }{ 6 } \\ \tan { \alpha } =2\\ \alpha =63,4° \)

Lama partikel di udara :

\( t=\frac { 2Voy }{ g } \\ t=\frac { 2.12 }{ 10 } \\ t=2,4\quad s \)

Ketinggian maksimum :

\( Ymax=\frac { { Vo }^{ 2 } }{ 2g } { sin }^{ 2 }\alpha \\ Ymax=\frac { { \left( 6\sqrt { 5 } \right) }^{ 2 }{ \left( \frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } \right) }^{ 2 } }{ 2.10 } \\ Ymax=7,2\quad m \)

Jarak terjauh :

\( Xmax=\frac { { Vo }^{ 2 } }{ g } \sin { 2\alpha } \\ Xmax=\frac { { \left( 6\sqrt { 5 } \right) }^{ 2 } }{ 10 } \sin { 126,8 } \\ Xmax=14,4\quad m \)

Kecepatan horizontal pada titik tertinggi :

\( Vx=Vox\\ Vx=Vo\cos { \alpha } \\ Vx=6\sqrt { 5 } \cos { 126,8 } \\ Vx=6\quad ㎧ \)

, ,

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert