Bab 7 Teori Relativitas Khusus | Fisika Kelas XII | Erlangga | Kurtilas


BAB VII

TEORI RELATIVITAS KHUSUS

I. PILIHAN GANDA

Pilihlah jawaban yang tepat. Berikan alasan mengapa Anda memilih jawaban tersebut.

Daftar konstanta alam sebagai pelengkap :

c = 3 x 108 m/s

e = 1,6 x 10-19 C

me = 9,1 x 10-31 kg

  1. Sebuah partikel yang bergerak dengan kelajuan 0,3c terhadap kerangka acuan laboratorium memancarkan sebuah elektron searah dengan kecepatan 0,3c relatif terhadap partikel. Laju elektron tadi menurut kerangka acuan laboratorium paling dekat nilainya dengan …
    1. 0,32c
    2. 0,52c
    3. 0,66c
    4. 0,76c
    5. 0,90c

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

VPO = 0,3c

VEP = 0,3c

Ditanyakan :

VEO

Jawaban :

Berdasarkan transformasi Lorentz tentang kecepatan, Einsten mengoreksi kesalahan tersebut dengan memberikan persamaan yang berlaku untuk penjumlahan kecepatan relativistik, yaitu :

\( { V }_{ BD }=\frac { V_{ BA }+{ V }_{ AD } }{ 1+\frac { V_{ BA }{ V }_{ AD } }{ { c }^{ 2 } } } \)​​​

Maka laju elektron pada soal no 1 menurut kerangka acuan laboratorium paling dekat nilainya dengan :

​​\( { V }_{ EO }=\frac { V_{ EP }+{ V }_{ PO } }{ 1+\frac { V_{ EP }{ V }_{ PO } }{ { c }^{ 2 } } } \\ ​{ V }_{ EO }=\frac { 0,3c+0,3c }{ 1+\frac { 0,3c\times 0,3c }{ { c }^{ 2 } } } \\ ​{ V }_{ EO }=\frac { 0,6c }{ 1+(0,09) } \\ ​{ V }_{ EO }=0,55c \)​​​

  1. Dua roket saling mendekat dengan kelajuan sama relatif terhadap Bumi. Jika kelajuan relatif roket satu terhadap roket lainnya adalah 0,80c maka kelajuan roket adalah …
    1. 0,40c
    2. 0,50c
    3. 0,60c
    4. 0,70c
    5. 0,75c

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

VBD = 0,08c

Ditanyakan:

VBA = VAD

Jawaban :

Berdasarkan transformasi Lorentz tentang kecepatan, Einsten mengoreksi kesalahan tersebut dengan memberikan persamaan yang berlaku untuk penjumlahan kecepatan relativistik, yaitu :

\( { V }_{ BD }=\frac { V_{ BA }+{ V }_{ AD } }{ 1+\frac { V_{ BA }{ V }_{ AD } }{ { c }^{ 2 } } } \)

maka bila diasumsikan bahwa kelajuan kedua roket sama dengan arah yang berbeda, maka :

\( 0,80c=\frac { a+a }{ 1+\left( \frac { a.a }{ { c }^{ 2 } } \right) } \\ 0,80c\times\left( 1+\frac { { a }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) =2a\\ 0,80c+\frac { { 0,80a }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } =2a\\ 0,80c+\frac { { 0,80a }^{ 2 } }{ { c }^{ } } =2a \)​​

Masukkan nilai c = 3 x 108 m/s :

\( 0,80\left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) +\frac { 0,80{ a }^{ 2 } }{ \left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) } =2a\\ \left( 24\times{ 10 }^{ 7 } \right) +\left( 2,67\times{ 10 }^{ -19 } \right) { a }^{ 2 }-2a=0\\ \)

Gunakan rumus ABC :

\( a=\frac { -B\pm \sqrt { { B }^{ 2 }-4AC } }{ 2A } \\ a=\frac { 2\pm \sqrt { 4-4\left( 24\times{ 10 }^{ 7 } \right) \left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } \)

 

 

\( ​a=\frac { 2\pm 1 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } \\ 1=\frac { 2+1 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } \\ I=\frac { 3 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } \)​​​

 

\( a=\frac { 2\pm 1 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } \\ 1=\frac { 2-1 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } \\ I=\frac { 1 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) } \)

Dibagi dengan 3 x 108 m/s untuk memasukkan variabel c :

\( a=\frac { 3 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) \left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) } =1,87c(Tidak\quad ada\quad di\quad opsi)\\ a=\frac { 1 }{ 2\left( 2,67\times{ 10 }^{ -9 } \right) \left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) } =0,6c(Ada\quad di\quad opsi) \)

  1. Dua pesawat terbang yang cukup canggih menempuh jalur terbang yang sama berupa sebuah garis lurus. Pesawat pertama memiliki kecepatan 0,8c terhadap Bumi, sedangkan pesawat yang kedua (berada di belakang pesawat pertama) memiliki kecepatan 0,2c terhadap Bumi. Sebuah benda bergerak lurus sejajar dengan kedua pesawat tersebut dengan kecepatan  terhadap pesawat yang pertama. Jika diukur dari pesawat yang kedua, kecepatan benda tersebut adalah …
    1. 0,80c
    2. 0,84c
    3. 0,89c
    4. 0,94c
    5. 0,98c

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

v1= 0,8c terhadap bumi

v2= 0,2c terhadap bumi

vbenda = 0,5c terhadap pesawat 1

Ditanyakan :

vbenda terhadap pesawat 2

Jawaban :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Mencari kecepatan pesawat 1 terhadap pesawat 2

\( ​{ V }_{ 12 }=\frac { V_{ 1B }+{ V }_{ 2B } }{ 1+\frac { V_{ 1B }{ V }_{ 2B } }{ { c }^{ 2 } } } \\ { V }_{ A2 }=\frac { 0,8c+\left( -0,2 \right) c }{ 1+\frac { 0,8c\times(-0,2)c }{ { c }^{ 2 } } } \\ { V }_{ A2 }=\frac { 0,6c }{ 1-0,16 } \\ { V }_{ A2 }=\frac { 0,6c }{ 0,84 } \\ { V }_{ A2 }=0,7c \)​​

  1. Mencari kecepatan benda terhadap pesawat 1

\( ​{ V }_{ A2 }=\frac { V_{ A1 }+{ V }_{ 12 } }{ 1+\frac { V_{ A1 }{ V }_{ 12 } }{ { c }^{ 2 } } } \\ { V }_{ A2 }=\frac { 0,5c+0,7c }{ 1+\frac { 0,5c\times0,7c }{ { c }^{ 2 } } } \\ { V }_{ A2 }=\frac { 1,2c }{ 1+0,35 } \\ { V }_{ A2 }=\frac { 1,2c }{ 1,35 } \\ { V }_{ A2 }=0,89c \)​​

  1. Periode suatu pendulum di muka Bumi besarnya 3,0 sekon. Jika pendulum tersebut diamati oleh seorang yang bergerak relatif terhadap Bumi dengan kecepatan 0,95c ( c = kecepatan cahaya), maka periode pendulum tersebut dalam sekon menjadi …
    1. 0,5
    2. 1,5
    3. 9,6
    4. 15
    5. 300

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

T0 = 0,3s

vseseorang = 0,95c

Ditanyakan :

Tterhadapseseorang = ..?

Jawaban :

  1. Mencari nilai tetapan transformasi, γ

\( ​\gamma =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \gamma =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,95c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \gamma =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( 0,95c \right) }^{ 2 } } } \\ \gamma =\frac { 1 }{ 0,312 } \\ \gamma =3,2\\ \)

  1. Mencari periode terhadap pengamat

\( T=\gamma { T }_{ 0 }\\ T=3,2\times3.0\\ T=9,6s \)​​

  1. Perbandingan dilatasi waktu untuk sistem yang bergerak pada kecepatan 0,8c ( c = cepat rambat cahaya) dengan sistem yang bergerak dengan kecepatan 0,6 c adalah …
    1. 3 : 4
    2. 4 : 3
    3. 9 : 2
    4. 9 : 16
    5. 16 : 9

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

v1 = 0,8c

v2 = 0,6c

Ditanyakan :

Δt’1 : Δt’2

Jawaban :

Berdasarkan transformasi Lorentz untuk waktu yaitu :

\( \Delta t’=\frac { \Delta t }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)

Maka perbandingannya adalah :

\( { \Delta t’ }_{ 1 }\quad :\quad { \Delta t’ }_{ 2 }=\frac { \frac { \Delta t }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { { v }_{ 1 } }{ c } \right) }^{ 2 } } } }{ \frac { \Delta t }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { { v }_{ 2 } }{ c } \right) }^{ 2 } } } } \\ { \Delta t’ }_{ 1 }\quad :\quad { \Delta t’ }_{ 2 }=\frac { \sqrt { 1-{ \left( \frac { { v }_{ 1 } }{ c } \right) }^{ 2 } } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { { v }_{ 2 } }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \Delta t’ }_{ 1 }\quad :\quad { \Delta t’ }_{ 2 }=\frac { \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,6c }{ c } \right) }^{ 2 } } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,8c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \Delta t’ }_{ 1 }\quad :\quad { \Delta t’ }_{ 2 }=\frac { \sqrt { 1-3,6 } }{ \sqrt { 1-6,4 } } \\ { \Delta t’ }_{ 1 }\quad :\quad { \Delta t’ }_{ 2 }=\frac { \sqrt { 6,4 } }{ \sqrt { 3,6 } } \\ { \Delta t’ }_{ 1 }\quad :\quad { \Delta t’ }_{ 2 }=\frac { 0,8 }{ 0,6 } \\ { \Delta t’ }_{ 1 }\quad :\quad { \Delta t’ }_{ 2 }=\frac { 4 }{ 3 } \)​​

  1. Sebuah meson yang sedang bergerak melalui sebuah laboratorium yang panjangnya x pada kelajuan v meluruh setelah suatu waktu hidup T bila diukur oleh seorang pengamat yang diam dalam laboratorium. Jika meson diam dalam laboratorium, maka  waktu hidupnya akan diukur sebagai …
    1. \( \left( 1-\frac { v }{ c } \right) T \)
    2. \( { T\left( 1-\frac { v }{ c } \right) }^{ -1 } \)
    3. \( { T\left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \)
    4.  ​\( { T\left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \)
    5.  ​\( { \left( T-\frac { vx }{ { c }^{ 2 } } \right) \left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \)

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Δt0= T

s = x

Ditanyakan :

Δt

Jawaban :

\( \Delta t=\frac { \Delta { t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { { v } }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \Delta t=\frac { T }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { { v } }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \Delta t=T{ \left( 1-\frac { { v^{ 2 } } }{ { c^{ 2 } } } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \)​​

  1. Beberapa bakteri diamati menggandakan diri mereka dalam 10 hari. Bakteri ini dibawa dalam sebuah perjalanan angkasa dalam suatu pesawat angkasa yang sedang bergerak dengan kelajuan hampir sama dengan kelajuan cahaya. Perjalanan memerlukan waktu 700 hari Bumi. Jumlah bakteri ketika pesawat angkasa mendarat di Bumi adalah …
    1. 27
    2. 210
    3. 220
    4. 270
    5. 2100

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

T = 10 hari

t = 700 hari

Ditanyakan:

Jumlah akhir bakteri = ..?

Jawaban :

  1.  Tentukan n

\( ​n=\frac { t }{ T } \\ n=\frac { 700 }{ 10 } \\ n=70 \)​​

  1. Tentukan jumlah akhir bakteri

jumlah akhir = 2n = 270

  1. Waktu hidup rata-rata sebuah partikel pada keadaan diam di laboratorium adalah 4,0 ​\( \mu s \)​. Berapakah kelajuan partikel relatif terhadap pengamat di Bumi di mana partikel akan menempuh jarak 1.200 m (diukur oleh pengamat di Bumi) sebelum partikel itu meluruh? ( c = 3 x 108 m/s)
    1. \( \frac { 2 }{ 3 } \quad x\quad { 10 }^{ 8 }\quad m/s \)
    2. \( 1,5\quad x\quad { 10 }^{ 8 }\quad m/s \)
    3. \( \frac { 3\sqrt { 2 } }{ 2 } \quad x\quad { 10 }^{ 8 }\quad m/s \)
    4. \( \frac { 2\sqrt { 3 } }{ 3 } \quad x\quad { 10 }^{ 8 }\quad m/s \)
    5. \( 2,0\quad x\quad { 10 }^{ 8 }\quad m/s \)

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Δt0 = 4,0μs = 4 x 10-6 s

s = 1200 m

c = 3 x 108 m/s

Ditanyakan :

v

Jawaban :

\( \Delta t=\frac { s }{ v } \)

\( \Delta t=\frac { { \Delta t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \)

Dari kedua persamaan tersebut maka :

\( \frac { s }{ v } =\frac { { \Delta t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \\ \frac { { s }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 } } =\frac { { { \Delta t }_{ 0 } }^{ 2 } }{ 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } \\ \frac { { 1200 }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 } } =\frac { { \left( 4\times{ 10 }^{ -6 } \right) }^{ 2 } }{ 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { \left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) }^{ 2 } } } \\ 16\times{ { 10 }^{ -12 }v }^{ 2 }=144\times{ 10 }^{ 4 }-\frac { 144\times{ 10 }^{ 4 }{ v }^{ 2 } }{ { 9\times10 }^{ 16 } } \\ 144\times{ 10 }^{ 4 }=\left( 16\times{ { 10 }^{ -12 }v }^{ 2 } \right) +\left( 16\times{ { 10 }^{ -11 }v }^{ 2 } \right) \\ 144\times{ 10 }^{ 4 }=32\times{ 1 }^{ -12 }{ v }^{ 2 }\\ \)

 

\( ​v=\sqrt { \frac { 144\times{ 10 }^{ 4 } }{ 32\times{ 10 }^{ -12 } } } \\ v=\frac { 12\times{ 10 }^{ 8 } }{ 4\sqrt { 2 } } \\ v=\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \times{ 10 }^{ 8 }m/s \)

  1. Sebuah pesawat ruang angkasa yang panjangnya 6 m bergerak dengan kecepatan 2,7 x 108 m/s. Panjang pesawat menurut pengamat yang diam di Bumi adalah …
    1. 1,9 m
    2. 2,6 m
    3. 4 m
    4. 8 m
    5. 19 m

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

L = 6 m

v = 2,7 x 108 m/s

Ditanyakan :

L’ =…?

Jawaban :

\( L’=L\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \)

Dengan nilai c = 3 x 108 m/s maka :

\( ​L’=6\sqrt { 1-{ \left( \frac { 2,7\times{ 10 }^{ 8 } }{ 3\times{ 10 }^{ 8 } } \right) }^{ 2 } } \\ L’=6\sqrt { 1-{ \left( 0,9 \right) }^{ 2 } } \\ L’=6\sqrt { 1-0,81 } \\ L’=6\sqrt { 0,19 } \\ L’=6\times0,435\\ L’=2,6m \)​​

  1. Pada sebuah dinding tegak terdapat gambar sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 3 m. Seandainya gambar tersebut dilihat oleh orang yang sedang berada di dalam pesawat yang bergerak sejajar dengan dinding dengan kecepatan 0,60 c, luas segitiga tersebut adalah …
    1. \( \sqrt { 3 } { m }^{ 2 } \)
    2. \( 1,8\sqrt { 2 } { m }^{ 2 } \)
    3. \( 1,8\sqrt { 3 } { m }^{ 2 } \)
    4. \( 2,4\sqrt { 3 } { m }^{ 2 } \)
    5. \( 3\sqrt { 3 } { m }^{ 2 } \)

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

L = 3 m

v = 0,60c

Ditanyakan:

Lsegitiga =..?

Jawaban :

  1. Tentukan panjang relativitistik L’

\( L’=L\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \)

​​\( L’=L\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ L’=3\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,6c }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ L’=3\sqrt { 1-0,36 } \\ L’=3\sqrt { 0,64 } \\ L’=3\times0,8\\ L’=2,4m \)​​

  1. Menentukan tinggi segitiga

Tinggi segitiga dapat ditentukan dengan teorema phytagoras:

  1. Menentukan luas segitiga

​​\( L\Delta =\frac { 1 }{ 2 } at\\ L\Delta =\frac { 1 }{ 2 } \times2,4\times\frac { 6\sqrt { 3 } }{ 5 } \\ L\Delta =\frac { 36\sqrt { 3 } }{ 25 } \\ L\Delta =1,4\sqrt { 3 } { m }^{ 2 }\approx 1,8\sqrt { 3 } { m }^{ 2 } \)​​

  1. Sebuah elips memiliki setengah sumbuh panjang a dan setengah sumbu pendek b, jika diukur dalam keadaan diam. Seseorang pengamat bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar bidang elips dan sejajar sumbu panjang dengan kecepatan v . Luas elips itu menurut pengamat yang bergerak adalah …
    1.  ​\( \pi ab \)
    2. \( \pi ab\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \)
    3. \( \pi ab\left( 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } \right) \)
    4. \( \pi ab{ \left( 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \)
    5. \( \pi ab{ \left( 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -1 } \)

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

\( \frac { 1 }{ 2 } sumbu\quad panjang\quad =\quad a\\ \frac { 1 }{ 2 } sumbu\quad pendek\quad =\quad b\\ { v }_{ pengamat }\quad =\quad v \)

Ditanyakan :

Lelips =..?

Jawaban :

Jika ​\( \frac { 1 }{ 2 } sumbu\quad panjang\quad =\quad a \) ​maka panjang sumbu a = 2

Jika ​​\( \frac { 1 }{ 2 } sumbu\quad pendek\quad =\quad b \)​​ maka panjang sumbu b = 2b

​​\( { L }_{ elips }=\frac { 1 }{ 4 } \pi { r }^{ 2 }\\ { L }_{ elips }=\frac { 1 }{ 4 } \pi \times2a\times2b\\ { L }_{ elips }=\frac { 1 }{ 4 } \pi 4ab\\ { L }_{ elips }=\pi ab \)​​

  1. Sebuah kubus memiliki volume sejati 1.000 cm3. Volume kubus tersebut menurut seorang pengamat yang bergerak dengan kecepatan 0,8c relatif terhadap kubus dalam arah sejajar salah satu rusuknya adalah …
    1. 100 cm3
    2. 300 cm3
    3. 400 cm3
    4. 500 cm3
    5. 600 cm3

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

V = 1000 cm3

v = 0,8c sejajar salah satu rusuk

Ditanyakan :

V’ =…?

Jawaban :

Berdasarkan hukum kontraksi panjang maka :

\( V’=V\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \)

\( V’=1000\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,8c }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ V’=1000\sqrt { 1-0,64 } \\ V’=1000\sqrt { 0,36 } \\ V’=1000\times0,6\\ V’=600{ cm }^{ 3 } \)​​

    1. Partikel dengan massa diam Mo memiliki massa M ketika sedang bergerak dengan kelajuan v. Berdasarkan grafik berikut yang dengan tepat menampilkan variasi  M terhadap β adalah …

a.

b.

c.

d.

e.

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Massa = M

Kelajuan = v

Ditanyakan :

Grafik variasi  M terhadap β

Jawaban :

Gambar di samping memperlihatkan suatu grafik massa sebuah partikel (massa diam m0) sebagai fungsi dari kelajuan v, yang dinyatakan dalam fraksi kelajuan cahaya c. Tampak bahwa pertambahan massa relativistik berarti hanya pada kelajuan yang mendekati kelajuan cahaya. Pada kelajuan v = 1,0 c pertambahannya lebih besar dari 100%

 

.

 

 

 

 

 

  1. Sebuah benda mempunyai massa diam 2 kg. bila benda bergerak dengan kecepatan 0,6c, maka massanya akan menjadi …
    1. 2,6 kg
    2. 2,5 kg
    3. 2 kg
    4. 1,6 kg
    5. 12 kg

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

m = 2 kg

v = 0,6c

Ditanyakan:

m’ = …?

Jawaban :

Berdasarkan teori massa relativistik maka :

\( ​​m’=\frac { m }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m’=\frac { 2 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,6c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m’=\frac { 2 }{ \sqrt { 1-0,36 } } \\ m’=\frac { 2 }{ \sqrt { 0,64 } } \\ m’=\frac { 2 }{ 0,8 } \\ m’=2,5kg \)​​

  1. Jika adalah kelajuan cahaya di udara, agar massa benda menjadi 125 persennya masa diam, benda harus digerakkan pada kelajuan …
    1. 1,25c
    2. 1c
    3. 0,8c
    4. 0,6c
    5. 1,5c

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

m’ = 125%m = 1,25m

Ditanyakan:

v =…?

Jawaban :

Berdasarkan teori massa relativistik maka :

​​\( ​m’=\frac { m }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ 1,25m=\frac { m }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =\frac { m }{ 1,25m } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =\quad 0,8\\ 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }=\quad 0,64\\ { \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }=\quad 0,36\\ v\quad =\quad 0,6c \)

  1. Perbandingan massa partikel bila diukur oleh sistem yang bergerak pada kecepatan ​\( \frac { 12 }{ 13 } c \)​ ( c = cepat rambat cahaya dalam vakum) dengan sistem yang bergerak pada kecepatan ​\( \frac { 5 }{ 13 } c \)​ adalah …
    1. 5 : 12
    2. 12 : 5
    3. 13 : 5
    4. 13 : 8
    5. 8 : 5

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

\( { v }_{ 1 }=\frac { 12 }{ 13 } c\\ { v }_{ 2 }=\frac { 5 }{ 13 } c \)

Ditanyakan :

\( \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 }} \)

Jawaban :

​​\( m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

\( \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } =\frac { \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } }{ \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { { v }_{ 2 } }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } } \\ \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } =\frac { \sqrt { 1-\frac { { { v }_{ 2 } }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } }{ \sqrt { 1-\frac { { { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \\ \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } =\frac { \sqrt { 1-\frac { { \left( \frac { 12 }{ 13 } c \right) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } }{ \sqrt { 1-\frac { { \left( \frac { 5 }{ 13 } c \right) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \\ \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } =\frac { \sqrt { 1-\frac { 144 }{ 169 } } }{ \sqrt { 1-\frac { 25 }{ 169 } } } \\ \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } =\frac { \sqrt { \frac { 25 }{ 169 } } }{ \frac { 144 }{ 169 } } \\ \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } =\frac { \frac { 5 }{ 13 } }{ \frac { 12 }{ 13 } } \\ \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } =\frac { 5 }{ 12 } \)​​

  1. Sebuah kubus dengan massa jenis 3.200 kg/m3 bergerak dengan kelajuan 0,6c sejajar salah satu rusuknya terhadap pengamat O. Massa jenis kubus itu bila diukur oleh pengamat  adalah O (dalam kg/m3) …
    1. 2.560
    2. 3.200
    3. 4.000
    4. 5.000
    5. 5.400

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

ρ = 3200 kg

v = 0,6c

Ditanyakan :

ρ’ =…?

Jawaban :

\( \rho ‘=\frac { \rho }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

\( ​\rho ‘=\frac { 3200 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,6c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \rho ‘=\frac { 3200 }{ \sqrt { 1-0,36 } } \\ \rho ‘=\frac { 3200 }{ \sqrt { 0,64 } } \\ \rho ‘=\frac { 3200 }{ 0,8 } \\ \rho ‘=4000\frac { kg }{ { m }^{ 3 } } \)​​

  1. Daya yang dipancarkan Matahari ke Bumi adalah 1,5 x 1016 watt. Massa materi yang diproses di Matahari untuk menyinari Bumi dalam satu hari adalah … (c = 3 x 108 m/s )
    1. 84.500 kg
    2. 62.300 kg
    3. 43.200 kg
    4. 38.600 kg
    5. 14.400 kg

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

P = 1,5 x 1016 watt

t = 1 hari = 24 x 3600 = 86400 s

Ditanyakan:

m = ..?

Jawaban :

\( P=\frac { W }{ t } ,\quad bila\quad W=E\quad maka:\\ P=\frac { E }{ t } ,\quad dengan\quad E={ mc }^{ 2 },\quad maka: \)

\( P=\frac { { mc }^{ 2 } }{ t } \)

Sehingga kita dapatkan rumus untuk mencari massa :

\( ​m=\frac { Pt }{ { c }^{ 2 } } \\ m=\frac { \left( 1,5\times{ 10 }^{ 16 } \right) \times86400 }{ { \left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) }^{ 2 } } \\ m=14400kg \)​​

  1. Suatu partikel bertenaga rehat (diam) Eo, sedang bergerak dengan tenaga kinetik EK dan kecepatan v sedemikian rupa hingga ​\( \frac { v }{ c } =\quad 0,99 \)​. ​\( \frac { Ek }{ Eo } \)​  untuk partikel adalah …
    1. \( \frac { c }{ 4 } \)
    2. \( \frac { c }{ 2 } \)
    3. \( \frac { e\sqrt { 11 } }{ 6 } \)
    4. \( \frac { e\sqrt { 2 } }{ 3 } \)
    5. \( \frac { e\sqrt { 13 } }{ 6 } \)

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

\( \frac { v }{ c } =0,99 \)

Ditanyakan :

\( \frac { Ek }{ { E }_{ 0 } } \)

Jawaban :

\( Ek\quad =\quad E\quad -\quad { E }_{ 0 } \)

Dimana :

\( E=\frac { { E }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)

Sehingga :

\( Ek=\frac { { E }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } -{ E }_{ 0 }\\ Ek={ E }_{ 0 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } -1 \right) \\ \frac { Ek }{ { E }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } -1 \)

Maka :

\( \frac { Ek }{ { E }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } -1\\ \frac { Ek }{ { E }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( 0,99 \right) }^{ 2 } } } -1\\ \frac { Ek }{ { E }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 0,0199 } } -1\\ \frac { Ek }{ { E }_{ 0 } } =6,08\\ \frac { Ek }{ { E }_{ 0 } } =\frac { c\sqrt { 13 } }{ 6 } \)​​

  1. Agar energi kinetik benda bernilai 20% energi diamnya dan c adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, maka benda harus bergerak dengan kelajuan …
    1. \( \frac { c }{ 4 } \)
    2. \( \frac { c }{ 2 } \)
    3. \( \frac { e\sqrt { 11 } }{ 6 } \)
    4. \( \frac { e\sqrt { 2 } }{ 3 } \)
    5. \( \frac { e\sqrt { 13 } }{ 6 } \)

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Ek = 20%E0 = 0,2E0

Ditanyakan :

v =…?

Jawaban :

\( Ek\quad =\quad E\quad -\quad { E }_{ 0 }\\ 0,2{ E }_{ 0 }\quad =\quad E\quad -\quad { E }_{ 0 }\\ 1,2{ E }_{ 0 }\quad =\quad E\\ 1,2x{ m }_{ 0 }\times{ c }^{ 2 }=m\times{ c }^{ 2 }\\ 1,2{ m }_{ 0 }\quad =\quad m \)

Dimana :

\( m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)

Maka :

\( ​1,2{ m }_{ 0 }=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ 1,2=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \frac { 1,2 }{ 1 } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ 1,44 } =1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ { \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }=1-\frac { 1 }{ 1,44 } \\ \frac { v }{ c } =\frac { c\sqrt { 11 } }{ 6 } \)

  1. Sebuah elektron dipercepat melalui sebuah beda potensial V. Kelajuan yang dicapainya secara pendekatan adalah …
    1. Sebanding dengan untuk v kecil dan ​\( \sqrt { v } \)​ untuk besar
    2. Sebanding dengan \( \sqrt { v } \) untuk v kecil dan tetap untuk v besar
    3. Sebanding dengan  v untuk v kecil dan tetap untuk v besar
    4. Sebanding dengan \( \sqrt { v } \) untuk v kecil dan v untuk v besar
    5. Sebanding dengan \( \sqrt { v } \)

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

Beda potensial elektron = V

Ditanyakan :

Kelajuan = …?

Jawaban :

\( Ek={ E }_{ Listrik }\\ \frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }=eV\\ v=\sqrt { \frac { 2eV }{ m } } \)

Maka kelajuannya sebanding dengan ​\( \sqrt { V } \\ \)

  1. Jika energi total proton adalah empat kali energi diamnya, maka kelajuan proton adalah … ( c = kecepatan cahaya)
    1. \( \frac { 2 }{ 3 } \sqrt { 2 } c \)
    2. \( \frac { 1 }{ 4 } \sqrt { 15 } c \)
    3. \( \frac { 3 }{ 5 } \sqrt { 3 } c \)
    4. \( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 11 } c \)
    5. \( \frac { 1 }{ 6\sqrt { 5 } } c \)

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

E’ = 4E

Ditanyakan :

v =…?

Jawaban :

Jika :

\( E’\quad =\quad \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } E \)

Maka :

\( E’\quad =\quad 4E\\ \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } E=4E\\ \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } =4\\ \frac { 1 }{ 4 } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ 16 } =1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ \frac { 15 }{ 16 } ={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ \sqrt { \frac { 15 }{ 16 } } =\frac { v }{ c } \\ v=\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { 15 } c \)

  1. Energi total sebuah partikel dengan massa diam mo adalah ​\( \sqrt { 10 } \)​kali energi diamnya. Momentumnya adalah …
    1. 2moc
    2. \( 2\sqrt { 2 } \)moc
    3. 3 moc
    4. \( 3\sqrt { 2 } \)moc
    5. 4 moc

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

\( E=\sqrt { 10 } { E }_{ 0 } \)

Ditanyakan :

p =…?

Jawaban :

\( E=\sqrt { 10 } { E }_{ 0 }\\ m\times{ c }^{ 2 }={ m }_{ 0 }\times{ c }^{ 2 }\\ m=\sqrt { 10 } { m }_{ 0 } \)

Jika:

\( m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)

Maka :

\( \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } =\sqrt { 10 } { m }_{ 0 }\\ \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } =\sqrt { 10 } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \\ 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 10 } \\ \frac { 9 }{ 10 } ={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ v=\sqrt { 0,9 } c \)

Bila kelajuan telah diketahui maka selanjutnya adalah mencari momentum dengan rumus momentum :

\( p=mv\\ p=\sqrt { 10 } { m }_{ 0 }\times\sqrt { 0,9 } c\\ p=\sqrt { 9 } { m }_{ 0 }c\\ p=3{ m }_{ 0 }c \)

  1. Sebuah elektron dengan energi kinetik 2mc2 bertumbukan sentral dengan elektron lain yang memiliki energi kinetik 2mc2. Jika diamati dari elektron lainnya sesaat sebelum tumbukan, besar energi kinetik elektron tersebut adalah …
    1. mc2
    2. 2mc2
    3. 4mc2
    4. 8mc2
    5. 16mc2

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Ek1 = Ek2 = 2mc2

Ditanyakan :

Ek =..?

Jawaban :

\( Ek=E_{ 1 }+E_{ 2 }\\ Ek=2mc^{ 2 }+2mc^{ 2 }\\ Ek=4mc^{ 2 } \)​​

  1. Sebuah benda dengan massa 4 kg bergerak dengan kecepatan ​\( \frac { 3 }{ 5 } c \)​ ( c =  kelajuan cahaya) berbentur dengan benda yang serupa tetapi bergerak dengan kelajuan \( \frac { 3 }{ 5 } c \) ke arah berlawanan. Bila setelah berbenturan kedua benda kemudian menyatu dan tidak ada energi yang teradiasikan selama proses benturan itu, maka massa benda gabungan setelah benturan adalah …
    1. 4,0 kg
    2. 6,4 kg
    3. 8,0 kg
    4. 10,0 kg
    5. 13,3 kg

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

m1 = m2 = 4 kg

v1 = v2 = ​\( \frac { 3 }{ 5 } \)c

Ditanyakan :

m1+2 =….?

Jawaban :

Momentum relativitas kedua benda adalah:

p1 + p2 = p’1 + p’2

Dimana benda 2 berlawanan dengan benda 1 dan setelah tumbukan kedua benda menyatu sehingga:

m1 v1 + m2 v2 = ( m1+ m2 ) v’

Menentukan nilai ( m1 + m2 ) sebagai berikut:

\( ​​​​{ m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } +\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }=\frac { 4 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { \frac { 3 }{ 5 } c }{ c } \right) }^{ 2 } } } +\frac { 4 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { \frac { 3 }{ 5 } c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }=\frac { 4 }{ \sqrt { 0,64 } } +\frac { 4 }{ \sqrt { 0,64 } } \\ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }=\frac { 4 }{ 0,8 } +\frac { 4 }{ 0,8 } \\ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }=5+5\\ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }=10kg \)​​

II. ESAI

Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.

A. Transformasi dan Postulat Relativitas Khusus

  1. Yudi yang berada dalam kereta api yang sedang bergerak dengan kelajuan 30 m/s berpapasan dengan Erna yang sedang berdiri di peron stasiun pada saat t’ = t = 0. Lima belas sekon setelah kereta itu lewat, Erna menyatakan bahwa jarak seekor burung yang terbang sepanjang rel dengan arah yang sama dengan arah kereta adalah 600 m. Tentukan koordinat burung ini menurut Yudi.

Diketahui :

t = 15 menit = 900 s

v = 30 m/s

x = 600 m

Ditanyakan :

x’ =…?

Jawaban :

Berdasarkan transformasi Galileo yang menyatakan :

x’ = xs

Dimana s = vt maka :

x’ = xvt

Berdasarkan rumus diatas maka soal dapat diselesaikan dengan :

x’ = xvt

x’ = 600 – (30 x 900)

x’ = 600 – 27000 = -26400 m

Dimana tanda minus menandakan bahwa arah letak koordinat yang dibaca Yudi berlawanan arah dengan arah letak koordinat yang dibaca Erna.

Kesimpulan.

Jadi, koordinat burung ini menurut Yudi adalah -26.400 m.

  1. Sebuah mobil bak terbuka bergerak mendatar dengan kelajuan 10 m/s. Anang yang berada dalam mobil melemparkan sebuah bola dengan kelajuan 5 m/s membentuk sudut 37º (sin 37º = 0,6) terhadap arah mendatar (sumbu-x). Tuliskan fungsi kedudukan (terhadap waktu) bola bila diamati oleh (a) Anang, (b) Helen yang diam di tepi jalan.

Diketahui :

vm = 10 m/s  -> Sm = 10 m

vb = 5 m/s

θ = 37o -> sin37= 0,6 -> cos37o = 0,8

Ditanyakan :

  1. S’Anang
  2. S’Helen

Jawaban :

 

 

 

 

 

 

  1. Kedudukan bola terhadap waktu yang diamati Anang

    Kerangka acuan non inersia (menurut Anang, yang bergerak bersama mobil) adalah:

    \( ​{ S’ }_{ Anang }=\left( { S }_{ \times } \right) i+\left( { S }_{ Y } \right) j\\ { S’ }_{ Anang }=\left( { v }_{ 0 }\cos { \theta } \right) i+\left( { v }_{ 0 }\sin { \theta t-\frac { 1 }{ 2 } g{ t }^{ 2 } } \right) j\\ { S’ }_{ Anang }=\left( 5\cos { 37t } \right) i+\left( 5\sin { 37t-\frac { 1 }{ 2 } 10{ t }^{ 2 } } \right) j\\ { S’ }_{ Anang }=\left( 5\cos { 37t } \right) i+\left( 5\sin { 37t-5{ t }^{ 2 } } \right) j\\ { S’ }_{ Anang }=\left( 5\times0,8t \right) i+\left( (5\times0,6t \right) -5{ t }^{ 2 })j\\ { S’ }_{ Anang }=(4t)i+(3t-5{ t }^{ 2 })j \)​​

  2. Kedudukan bola terhadap waktu yang diamati Helen

Kerangka acuan non inersia (menurut Helen yang diam terhadap bumi) adalah :

​​\( ​{ S’ }_{ Helen }=\left( { S }_{ \times } \right) i+\left( { S }_{ Y } \right) j\\ { S’ }_{ Helen }=\left( { S }_{ x }+{ S }_{ m } \right) i+\left( { S }_{ Y } \right) j\\ { S’ }_{ Helen }=\left( { v }_{ 0 }\cos { \theta } +{ S }_{ m } \right) ti+\left( { v }_{ 0 }\sin { \theta t-\frac { 1 }{ 2 } g{ t }^{ 2 } } \right) j\\ { S’ }_{ Helen }=\left( 5\cos { 37+10 } \right) ti+\left( 5\sin { 37t-\frac { 1 }{ 2 } 10{ t }^{ 2 } } \right) j\\ { S’ }_{ Helen }=\left( 5\cos { 37+10 } \right) ti+\left( 5\sin { 37t-5{ t }^{ 2 } } \right) j\\ { S’ }_{ Helen }=\left( (5\times0,8 \right) +10)ti+\left( (5\times0,6t \right) -5{ t }^{ 2 })j\\ { S’ }_{ Helen }=(4+10)ti+(3t-5{ t }^{ 2 })j\\ { S’ }_{ Helen }=(14t)i+(3t-5{ t }^{ 2 })j \)

Kesimpulan.

Jadi, fungsi kedudukan (terhadap waktu) bola diamati oleh Anang adalah S’Anang = (4t)i + (3t5t2)j )sedangkan jika diamati oleh Helen adalah S’Helen = (14t)i + (3t – 5t2)j .

  1. Bayangkan seorang pengendara sepeda motor yang sedang bergerak dengan kecepatan 0,80 c yang ditunjukkan pada gambar di samping. Jika pengendara melemparkan sebuah bola ke arah depan dengan kecepatan 0,40 c relatif terhadap dirinya, berapakah kecepatan bola yang diamati oleh pengamat yang diam?

Diketahui  :

vm = 0,80c

vb = 0,40c

Ditanyakan :

vpengamat

Jawaban :

\( ​{ v }_{ pengamat }=\frac { { v }_{ m }+{ v }_{ b } }{ 1+\frac { { v }_{ m }{ v }_{ b } }{ { c }^{ 2 } } } \\ ​{ v }_{ pengamat }=\frac { 0,8c+0,4c }{ 1+\frac { 0,8c\times0,4c }{ { c }^{ 2 } } } \\ ​{ v }_{ pengamat }=\frac { 1,2c }{ 1+\frac { { 0,32c }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } \\ ​{ v }_{ pengamat }=\frac { 1,2c }{ 1,32 } \\ ​{ v }_{ pengamat }=0,9c \)

Kesimpulan.

Jadi, kecepatan bola yang diamati oleh pengamat diam adalah 0,9c.

  1. Roket A bergerak ke sebelah kanan dan roket B ke sebelah kiri masing-masing dengan kecepatan 0,8 c dan 0,6 c relatif terhadap Bumi. Berapakah kecepatan roket A diukur dari roket B?

Diketahui :

VAE = 0,8c

VBE = -0,6c ->VEB = 0,6c

Ditanyakan :

VAB

Jawaban :

Kelajuan roket A terhadap roket B dapat dicari berdasarkan rumus berikut :

 

 

 

 

 

 

 

​​\( ​{ V }_{ AB }=\frac { { V }_{ AE }+{ V }_{ EB } }{ 1+\frac { { V }_{ AE }{ V }_{ EB } }{ { c }^{ 2 } } } \\ { V }_{ AB }=\frac { 0,8c+0,6c }{ 1+\frac { 0,8c\times0,6c }{ { c }^{ 2 } } } \\ { V }_{ AB }=\frac { 1,4c }{ 1+0,48c } \\ { V }_{ AB }=\frac { 1,4c }{ 1,48c } \\ { V }_{ AB }=0,946c \)

Kesimpulan.

Jadi, kecepatan roket A diukur dari roket B adalah 0,946c.

B. Pemekaran Waktu dan Kontraksi Panjang

  1. Berapakah kelajuan pesawat antariksa relatif terhadap Bumi agar satu hari dalam pesawat sama dengan dua hari di Bumi?

Diketahui :

1 hari pesawat = 2 hari di Bumi

Ditanyakan :

v =….?

Jawaban :

  1. Cari γ

\( ​\Delta t=\gamma \Delta { t }_{ 0 }\\ \gamma =\frac { \Delta t }{ \Delta { t }_{ 0 } } \)

Karena 1 hari di pesawat (Δt0) sama dengan 2 hari di bumi (Δt)  maka :

\( ​\gamma =\frac { \Delta t }{ \Delta { t }_{ 0 } } \\ \gamma =\frac { 2 }{ 1 } \\ \gamma =2 \)​​

  1. Mencari nilai v

Berdasarkan rumus pemekaran waktu :

\( ​​\Delta t=\gamma \Delta { t }_{ 0 }\\ \Delta t=\frac { \Delta { t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

Dari rumus di atas maka dapat dicari nilai  dari  yang telah dicari sebelumnya :

\( ​\frac { 1 }{ \gamma } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \\ \frac { 1 }{ 2 } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ 4 } =1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ \frac { 3 }{ 4 } ={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ \sqrt { \frac { 3 }{ 4 } } =\frac { v }{ c } \\ v=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } c \)​​

Kesimpulan.

Kelajuan pesawat antariksa relatif terhadap Bumi agar satu hari dalam pesawat sama dengan dua hari di Bumi adalah ​\( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } c \)​.

  1. Sebuah pesawat antariksa yang menjauhi Bumi dengan kelajuan ​\( 2\sqrt { 2\quad } x\quad { 10 }^{ 8 }\quad m/s \)​ memancarkan data dengan laju 103 pulsa/s . Pada laju berapakah data tersebut akan diterima di Bumi?

Diketahui :

vo = 103 pulsa/s

\( ​V=2\sqrt { 2 } \times{ 10 }^{ 8\quad }m/s\\ V=\frac { 2\sqrt { 2 } \times{ 10 }^{ 8\quad } }{ 3\times{ 10 }^{ 8\quad } } \\ V=0,94c \)​​

Ditanyakan :

v =..?

Jawaban :

\( v={ v }_{ 0 }\sqrt { \frac { 1-\frac { v }{ c } }{ 1-\frac { v }{ c } } } \\ \\ v={ 10 }^{ 3 }\sqrt { \frac { 1-\frac { 0,94 }{ c } }{ 1+\frac { 0,94c }{ c } } } \\ v={ 10 }^{ 3 }\sqrt { \frac { 0,06 }{ 1,94 } } \\ v={ 10 }^{ 3 }\times0,175\\ v=175,86pulsa/s \)

Kesimpulan.

Jadi, data tersebut akan diterima di Bumi pada laju 175,86 pulsa/s.

  1. Sebuah partikel yang sedang bergerak dengan kelajuan 0,8 c dalam laboratorium meluruh setelah menempuh jarak 3,00 m. Berapa lamakah partikel ini hidup menurut pengukuran pengamat :
    1. Di dalam laboratorium
    2. Yang bergerak bersama partikel

Diketahui :

v = 0,8c

s = 3,00 m

Ditanyakan :

Tentukan :

  1. Δt0
  2. Δt

Jawaban :

  1. Δt0

    \( ​​v=\frac { s }{ \Delta { t }_{ 0 } } \\ \Delta t_{ 0 }=\frac { s }{ v } \\ \Delta t_{ 0 }=\frac { 3 }{ 0,8c } \\ \Delta t_{ 0 }=\frac { 3 }{ 0,8\left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) } \\ \Delta t_{ 0 }=1,25\times{ 10 }^{ -8 }s\\ \Delta t_{ 0 }=12,5ns \)

  2.  Δt

\( ​\Delta t=\frac { \Delta { t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \Delta t=\frac { \frac { 3 }{ 0,8c } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,8c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \Delta t=\frac { \frac { 3 }{ 0,8c } }{ 0,6 } \\ \Delta t=\frac { 3 }{ 0,8c\times0,6 } \\ \Delta t=\frac { 3 }{ 0,8\left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) \times0,6 } \\ \Delta t=2,08\times{ 10 }^{ -8 }\\ \Delta t=20,8ns \)​​

Kesimpulan.

Jadi, partikel ini hidup menurut pengukuran pengamat adalah 12,5 ns sedangkan menurut pengukuran pengamat yang ikut bergerak bersama partikel adalah 20,8 ns.

  1. Sebuah kapal kecil menempuh jarak 500 km di antara dua kota dengan kelajuan 0,2 c.
    1. Berapa lamakah perjalanan kapal itu menurut pengamalatan di dalam kapal ?
    2. Berapakah jarak yang ditempuh kapal itu menurut pengamat di dalam kapal ?

Diketahui :

s = 500  km = 5 x 105 m

v = 0,2c

Ditanyakan :

Tentukan:

  1. Δt0
  2. Δs0

Jawaban :

  1. Δt0

    \( ​\Delta t=\frac { \Delta { t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \\ \frac { s }{ v } =\frac { \Delta { t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \)​​

    \( ​\Delta t_{ 0 }=\frac { s }{ v } \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } \\ \Delta t_{ 0 }=\frac { \left( 5\times{ 10 }^{ 5 } \right) }{ 0,2c } \sqrt { 1-\frac { { \left( 0,2c \right) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } \\ \Delta t_{ 0 }=\frac { \left( 5\times{ 10 }^{ 5 } \right) }{ 0,2\times\left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) } \times0,77\\ \Delta t_{ 0 }=6,4ms \)​​

    Jadi, waktu perjalanan kapal itu menurut pengamalatan di dalam kapal adalah 6,4 ms

  2.  Δs0

\( ​\Delta v=\frac { { \Delta s }_{ 0 } }{ \Delta t_{ 0 } } \\ { \Delta s }_{ 0 }=\Delta v\Delta t_{ 0 }\\ { \Delta s }_{ 0 }=0,2c\times\left( 6,4\times{ 10 }^{ -3 } \right) \\ { \Delta s }_{ 0 }=384km \)​​

Jadi, jarak yang ditempuh kapal itu menurut pengamat di dalam kapal 384 km.

  1. Muon memiliki waktu hidup rata-rata 2,2 x 10-6 s ketika diam. Muon diproduksi pada ketinggian 10 km dan bergerak dengan kelajuan 0,995 c menuju Bumi. Tentukan :
    1. Waktu hidup rata-rata muon jika diukur oleh pengamat di Bumi.
    2. Waktu yang diperlukan muon untuk mencapai permukaan tanah jika diukur oleh pengamat di Bumi.
    3. Waktu yang diperlukan muon untuk mencapai permukaan tanah jika diukur dalam kerangka acuan muon.

Diketahui :

Δt = 2,2 x 10-6 s

h = 10 km

v = 0,995 c

Ditanyakan :

Tentukan :

  1. Δt
  2. Waktu mencapai tanah menurut pengamat di Bumi
  3. Waktu mencapai tanah menurut acuan muon

Jawaban :

  1. Δt

    \( ​\Delta t=\frac { \Delta { t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \\ ​\Delta t=\frac { 2,2\times{ 10 }^{ -6 } }{ \sqrt { 1-{ \frac { { \left( 0,995c \right) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } } \\ ​\Delta t=2,25\times{ 10 }^{ -5 }s \)​​

    Jadi, waktu hidup rata-rata muon jika diukur oleh pengamat di Bumi adalah 2,2 x 10-5 s.

  2.  Waktu mencapai tanah menurut pengamat di Bumi

    \( ​h={ h }_{ 0 }\sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } \\ h=10\sqrt { 1-\frac { { \left( 0,995c \right) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } \\ h=0,99km \)​​

    \( ​t=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \\ t=\sqrt { \frac { 2\left( 0,99\times{ 10 }^{ 3 } \right) }{ 10 } } \\ t=198s \)​​

    Jadi, waktu yang diperlukan muon untuk mencapai permukaan tanah jika diukur oleh pengamat di Bumi adalah 198 s

  3. Waktu mencapai tanah menurut acuan muon

\( ​t=\sqrt { \frac { 2{ h }_{ 0 } }{ g } } \\ t=\sqrt { \frac { 2\times10\times{ 10 }^{ 3 } }{ 10 } } \\ t=44,72s \)​​

Jadi, waktu yang diperlukan muon untuk mencapai permukaan tanah menurut acuan muon adalah 44,72 s

  1. Dua kembaran berpisah pada saat berumur 20 tahun, A tinggal di Bumi dan B berpetualang di antariksa menggunakan pesawat dengan kelajuan 0,96 c. Setelah 14 tahun berkelana, B pulang ke Bumi. Apabila A masih hidup, berapakah usia A pada saat B pulang ke Bumi?

Diketahui :

Usia awal = 20 tahun

v =0,96c

Δt0= 14 tahun

Ditanyakan :

Usia A =…?

Jawaban :

Perjalanan B menurut waktu di Bum i:

\( ​\Delta t=\frac { \Delta { t }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ ​\Delta t=\frac { 14 }{ \sqrt { 1-{ \frac { { \left( 0,96 \right) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } } \\ ​\Delta t=\frac { 14 }{ 0,28 } \\ ​\Delta t=50\quad tahun \)​​

Maka usia A :

Usia awal + perjalanan = 20 + 50 = 70 tahun

Kesimpulan.

Jadi, usia A pada saat B pulang ke Bumi adalah 70 tahun.

  1. Sebuah pesawat antariksa memiliki panjang 6,5 m ketika diukur dalam keadaan diam di Bumi. Berapakah kelajuan pesawat tersebut ketika panjang pesawat menurut pengamat di Bumi adalah 2,5 m? Nyatakan dalam c.

Diketahui :

L0 = 6,5 m

L = 2,5 m

Ditanyakan :

c =…?

Jawaban :

Menurut teori kontraksi panjang dapat ditentukan dengan :

\( ​L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0 }\\ 2,5=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } 6,5\\ \frac { 2,5 }{ 6,5 } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,385=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,15=1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ 0,85={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ v=\sqrt { 0,85 } c\\ v=0,92c \)​​

Kesimpulan.

Jadi, kelajuan pesawat tersebut adalah 0,92c.

  1. Sebuah pesawat antariksa yang sedang bergerak dengan kelajuan  1,5 x 108 m/s memiliki panjang 10 m ketika diukur oleh pengamat yang diam di Bumi. Berapakah panjang pesawat tersebut jika dalam keaadan diam di Bumi diukur oleh pengamat di Bumi?

Diketahui :

v = 1,5 x 108 m/s

L = 10 m

Ditanyakan :

L0=…?

Jawaban :

\( ​L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0 }\\ { L }_{ 0 }=\frac { L }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

Dengan nilai c = 3 x 108 m/s maka :

\( ​{ L }_{ 0 }=\frac { 10 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 1,5\times{ 10 }^{ 8 } }{ 3\times{ 10 }^{ 8 } } \right) }^{ 2 } } } \\ ​{ L }_{ 0 }=\frac { 10 }{ \sqrt { 1-{ \left( 0,5 \right) }^{ 2 } } } \\ ​{ L }_{ 0 }=\frac { 10 }{ \sqrt { 1-0,25 } } \\ ​{ L }_{ 0 }=\frac { 10 }{ \sqrt { 0,75 } } \\ ​{ L }_{ 0 }=11,55m \)​​

Kesimpulan.

Jadi, panjang pesawat dalam keadaan diam di Bumi diukur oleh pengamat di Bumi adalah 11,55 m.

  1. Sebuah pesawat antariksa berbentuk segitiga siku-siku diterbangkan oleh seorang pilot dengan kelajuan 0,96 c. Ukuran pesawat ketika berada dalam keadaan diam adalah 50 m x 25 m (lihat gambar). Berapakah luas pesawat itu jika diamati oleh seorang pengamat di Bumi ketika pesawat sedang bergerak sepanjang arah seperti ditunjukkan dalam gambar?

Diketahui :

v = 0,96c

\( { A }_{ 0 }=\frac { 50mx25m }{ 2 } \)

Ditanyakan :

A =..?

Jawaban :

Menentukan panjang relativistik  yang sesuai dengan arah kecepatan yaitu panjang 50 m.

\( ​L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0 }\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,96c }{ c } \right) }^{ 2 } } \times50\\ L=14m \)​​

Maka luas pesawat itu adalah :

\( ​A=\frac { 1 }{ 2 } Lt\\ A=\frac { 1 }{ 2 } \times14\times25\\ A=175{ m }^{ 2 } \)​​

Kesimpulan.

Jadi, luas pesawat itu jika diamati oleh seorang pengamat di Bumi ketika pesawat sedang bergerak adalah 175 m2.

  1. Sebuah kotak berbentuk kubus dengan panjang rusuk sejati L1 = L2 = L3 = 2,0 m, seperti ditunjukkan pada gambar, ketika diamati dalam kerangka acuan yang diam terhadap kotak. Kotak ini kemudian digerakkan sejajar salah satu rusuknya dengan kelajuan  melewati seorang pengamat ?
    1. Apakah bentuk kotak yang diamati oleh pengamat ?
    2. Berapakah panjang tiap rusuk bila diukur oleh pengamat ini ?

Diketahui :

L1 = L2 = L3 = 2,0 m

v = 0,60c

Ditanyakan :

Tentukan:

  1. Bentuk kotak yang diamati pengamat
  2. L

Jawaban :

  1. Bentuk kotak yang diamati pengamat

    Karena yang mengalami panjang relativistik adalah yang sejajar dengan arah kecepatan dan hanya satu rusuk saja. Bentuk kubus akan tampak seperti balok karena satu rusuknya panjang.

  2.  Panjang tiap rusuk yang diamati pengamat

\( ​L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0 }\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,60c }{ c } \right) }^{ 2 } } 2\\ L=1,6m \)​​

Maka panjang rusuk kubus adalah 2 m x 2 m x 1,6 m.

Kesimpulan.

Jadi, bentuk yang terlihat oleh pengamat adalah bentuk balok dengan panjang rusuknya adalah 2m x 2m x 1,6 m.

  1. Sebuah kubus dengan massa jenis 7.200 kg/m3 dan panjang rusuk 10 cm bergerak dengan kecepatan 0,8c relatif terhadap Bumi dengan arah yang sejajar dengan salah satu rusuknya. Tentukan :
    1. Volume kubus dan
    2. Massa jenis kubus menurut pengamat dalam suatu laboratorium yang diam di Bumi.

Diketahui :

ρ0 = 7200 kg/m3

L = 10 cm = 0,1 m

v = 0,8c

Ditanyakan :

  1. Vkubus
  2. ρ

Jawaban :

  1. Volume kubus*)Volume kubus saat diam.

    \( ​{ V }_{ 0 }={ s }^{ 3 }\\ { V }_{ 0 }={ 0,1 }^{ 3 }\\ { V }_{ 0 }={ 10 }^{ -3 }{ m }^{ 3 } \)​​

    *)Volume kubus saat bergerak dengan 0,8c

    Untuk menghitung volume kubus saat bergerak dengan kecepatan 0,8c, pertama perlu dicari panjang salah satu sisi yang mengalami kontraksi panjang akibat pergerakan dengan kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya tersebut.

    ​​\( ​L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0 }\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,8c }{ c } \right) }^{ 2 } } \times0,1\\ L=\sqrt { 1-0,64 } \times0,1\\ L=\sqrt { 0,36 } \times0,1\\ L=0,6\times0,1\\ L=0,06m \)

    Maka volume kubus saat bergerak adalah :

    \( ​{ V }_{ 0 }={ s }^{ 2 }L\\ { V }_{ 0 }={ \left( 0,1 \right) }^{ 2 }\times0,06\\ { V }_{ 0 }=6\times{ 10 }^{ -4 }{ m }^{ 3 } \)

  2. Massa jenis

Menurut pengamat di Bumi, massa kubus tetap sama seperti massa diamnya. Sehingga yang mempengaruhi perubahan densitas hanya kontraksi panjang. Maka dengan :

\( { m }_{ 0 }={ \rho }_{ 0 }{ V }_{ 0 } \)

Dan :

\( \rho =\frac { { m }_{ 0 } }{ V } \)

Maka :

\( ​\rho =\frac { { m }_{ 0 }{ V }_{ 0 } }{ V } \\ \rho =\frac { 7200\times{ 10 }^{ -3 } }{ 6\times{ 10 }^{ -4 } } \\ \rho =12000kg/{ m }^{ 3 } \)​​

Kesimpulan.

Jadi, volumen kubus dalam keadaan diam adalah 10-3 m3 sedangkan saat bergerak adalah 6 x 10-4 m3. Dan massa jenis kubus menurut pengamat dalam suatu laboratorium yang diam di Bumi adalah 12000 kg/m3.

  1. Sebuah kubus memiliki volume 1.000 cm3 ketika diukur oleh pengamat yang diam di Bumi. Berapakah volume kubus ketika diukur oleh pengamat yang berada dalam sebuah pesawat antariksa yang sedang bergerak dengan kecepatan  v = 0,6 c dalam arah:
    1. Sejajar terhadap salah satu rusuk kubus
    2. Sejajar terhadap salah satu diagonal sisi kubus
    3. Sejajar terhadap salah satu diagonal ruang kubus

Diketahui :

​​\( V=1000{ cm }^{ 3 }\\ s=\sqrt [ 3 ]{ 1000 } \\ s=10\quad cm \)​​

v = 0,6c

Ditanyakan :

Tentukan V kubus jika kecepatan :

  1. Sejajar terhadap salah satu rusuk kubus
  2. Sejajar terhadap salah satu diagonal sisi kubus
  3. Sejajar terhadap salah satu diagonal ruang kubus

Jawaban :

  1. Sejajar terhadap salah satu rusuk kubus

    \( ​{ L }_{ 0 }=10\quad cm\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0 }\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,6c }{ c } \right) }^{ 2 } } 10\\ L=8cm \)​​

    Maka volumenya :

    V = 10 x 10 x 8

    V = 800 cm3

    Jadi, volume kubus jika kecepatan sejajar terhadap salah satu rusuk kubus adalah 800 cm3.

  2. Sejajar terhadap salah satu diagonal sisi kubus

    \( { L }_{ 0 }=\sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 10 }^{ 2 } } \\ { L }_{ 0 }=10\sqrt { 2 } cm\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0\\ }\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,6c }{ c } \right) }^{ 2 } } 10\sqrt { 2 } \\ L=8\sqrt { 2 } cm \)

    Maka kedua rusuknya berubah menjadi :

    \( ​8\sqrt { 2 } =\sqrt { { x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \\ { 2x }^{ 2 }=128\\ x=\sqrt { \frac { 128 }{ 2 } } =8cm \)​​

    Dan volumenya menjadi :

    V = 10 x 8 x 8

    V = 640 cm3

    Jadi, volume kubus jika kecepatan sejajar terhadap salah satu diagonal sisi kubus adalah 800 cm3.

  3. Sejajar terhadap salah satu diagonal ruang kubus

Diagonal ruang adalah :

\( ​{ L }_{ 0 }=10\sqrt { 3 } cm\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } { L }_{ 0 }\\ L=\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,6c }{ c } \right) }^{ 2 } } 10\sqrt { 3 } \\ L=8\sqrt { 3 } cm \)​​

Maka ketiga rusuknya berubah menjadi :

\( \frac { 8\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } } =8\quad cm \)

Dan volumenya menjadi :

V = 8 x 8 x 8

V = 512 cm3

Jadi, volume kubus jika kecepatan sejajar terhadap salah satu diagonal ruang kubus adalah 512 cm3.

C. Massa, Momentum, dan Energi Relativistik

  1. Tentukan massa relativistik sebuah partikel (massa diam = 6 kg) yang bergerak dengan kelajuan berikut:
    1. 0,28 c
    2. 0,8 c
    3. \( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } c \)
    4. \( \frac { 2 }{ 5 } \sqrt { 5 } c \)

Diketahui :

Massa diam = 6 kg

Ditanyakan :

Massa relativistik tiap partikel =..?

Jawaban :

  1. 0,28 c

    \( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,28c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-0,0784 } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 0,9216 } } \\ m=6,25kg \)​​

  2.  0,8 c

    \( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,8c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-0,64 } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 0,36 } } \\ m=10kg \)​​

  3.  ​\( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } c \)

    \( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-0,75 } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 0,25 } } \\ m=12kg \)​​

  4. \( \frac { 2 }{ 5 } \sqrt { 5 } c \)

\( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { \frac { 2 }{ 5 } \sqrt { 5 } c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 1-0,8 } } \\ m=\frac { 6 }{ \sqrt { 0,2 } } \\ m=13,4kg \)​​

  1. Berapakah kelajuan sebuah partikel agar massa relativistiknya sama dengan 5 kali massa diamnya?

Diketahui :

m = 5m0

Ditanyakan :

v =..?

Jawaban :

\( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =\frac { { m }_{ 0 } }{ m } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =\frac { { m }_{ 0 } }{ { 5m }_{ 0 } } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 5 } \\ 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 25 } \\ { \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }=\frac { 24 }{ 25 } \\ v=\sqrt { \frac { 24 }{ 25 } } c\\ v=\frac { 2 }{ 5 } \sqrt { 6 } c \)​​

Kesimpulan.

Jadi, kelajuan partikel adalah ​\( \frac { 2 }{ 5 } \sqrt { 6 } \)c.

  1. Berapakah momentum relativistik sebuah elektron (massa diam = 9,1 x 10-31 kg) yang sedang bergerak dengan kelajuan:
    1. 0,60 c
    2. 0,80 c

Diketahui :

m0 = 9,1 x 10-31 kg

  1. 0,60c
  2. 0,80c

Ditanyakan :

P =..?

Jawaban :

Rumus momentum relativistik adalah:

\( P=\frac { { m }_{ 0 }v }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

Dengan nilai c = 3 x 108 maka :

  1. 0,60c

    \( ​​P=\frac { { m }_{ 0 }v }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

    \( ​P=\frac { \left( 9,1\times{ 10 }^{ -31 } \right) \times\left( 0,60\times3\times{ 10 }^{ 8 } \right) }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,60 }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ P=\frac { 1,638\times{ 10 }^{ -22 } }{ \sqrt { 0,64 } } \\ P=\frac { 1,638\times{ 10 }^{ -22 } }{ 0,8 } \\ P=2,0475\times{ 10 }^{ -22 }kgm/s \)​​

  2.  0,80c

\( P=\frac { { m }_{ 0 }v }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

\( ​​P=\frac { \left( 9,1\times{ 10 }^{ -31 } \right) \times\left( 0,80\times3\times{ 10 }^{ 8 } \right) }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,80 }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ P=\frac { 2,184\times{ 10 }^{ -22 } }{ \sqrt { 0,36 } } \\ P=\frac { 2,184\times{ 10 }^{ -22 } }{ 0,6 } \\ P=3,64\times{ 10 }^{ -22 }kgm/s \)​​

Kesimpulan.

Jadi, momentum relativistik saat kelajuan 0,60 c adalah 2,0475 x 10-22 kg m/s sedangkan momentum relativistik saat kelajuan 0,80 c adalah 3,64 x 10-22 kg m/s.

  1. Pada kelajuan berapakah momentum sebuah partikel satu persen lebih tinggi daripada momentum klasiknya (momentum menurut fisika klasik)?

Diketahui :

Momentum menurut fisika klasik

Ditanyakan :

Kelajuan 1% lebih tinggi

Jawaban :

P = m v -> 1%

0,01mv = ​\( \frac { mv }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)

\( ​0,01=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ misal\frac { v }{ c } =x\\ 0,01=\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } =1\\ { 10 }^{ 4 }(1-{ x }^{ 2 })=1\\ 1-{ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ { 10 }^{ 4 } } \\ x=\sqrt { 1-\frac { 1 }{ { 10 }^{ 4 } } } \\ x=0,99995 \)​​

Maka :

\( ​\frac { v }{ c } =x=0,99995\\ v=0,99995c \)​​

Kesimpulan.

Pada kelajuan 0,99995c momentum sebuah partikel satu persen lebih tinggi daripada momentum klasiknya.

  1. Sebuah partikel bergerak dengan kelajuan v = ​\( \frac { 15 }{ 17 } c \)​dengan c = kelajuan  cahaya. Tentukan hubungan antara:
    1. Massa relativistik dan massa diam partikel;
    2. Energi relativistik dan energi diam partikel;
    3. Energi kinetik dan energi diam partikel.

Diketahui :

\( v=\frac { 15 }{ 17 } c \)

Ditanyakan :

Hubungan:

  1. mo dan m
  2. Eo dan E
  3. Ek dan E0

Jawaban :

  1. Massa relativistik dan massa diam partikel

    ​​\( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { \frac { 15 }{ 17 } c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { \frac { 15 }{ 17 } c }{ c } \right) }^{ 2 } } m={ m }_{ 0 }\\ \frac { 8 }{ 17 } m={ m }_{ 0 }\\ \frac { m }{ { m }_{ 0 } } =\frac { 17 }{ 8 } \)

    Jadi, hubungan massa relativistik dan massa diam partikel adalah mo : m = 17 : 8.

  2.  Energi relativistik dan energi diam partikel

    \( \frac { { E }_{ 0 } }{ E } =\frac { { m }_{ 0 }{ c }^{ 2 } }{ { mc }^{ 2 } } =\frac { 8 }{ 17 } \)

    Jadi, hubungan energi relativistik dan energi diam partikel adalah Eo : E = 8 : 17.

  3. Energi kinetik dan energi diam partikel

\( \frac { { E }k }{ E_{ 0 } } =\frac { E-E_{ 0 } }{ E_{ 0 } } =\frac { \left( 17-8 \right) }{ 8 } =\frac { 9 }{ 8 } \)​​

Jadi, hubungan energi kinetik dan energi diam partikel adalah Ek : E0 = 9 : 8.

  1. Sebuah proton (massa diam = 1,7 x 10-27 kg) bergerak relativistik hingga massanya menjadi  1 ​\( \frac { 1 }{ 4 } \)​kali massa diamnya. Berapa energi kinetik proton tersebut (nyatakan dalam jumlah joule)?

Diketahui :

m0 = 1,7 x 10-27 kg

\( ​m=1\frac { 1 }{ 4 } { m }_{ 0 }\\ m=1\frac { 1 }{ 4 } \times\left( 1,7\times{ 10 }^{ -27 } \right) \\ m=2,125\times{ 10 }^{ -27 }kg \)​​

Ditanyakan :

Ek =..?

Jawaban :

Menurut teori energi kinetik relativistik dinyatakan dengan rumus:

Ek = EE0

Dimana E = mc2 dan E0 = m0c2.

Dengan nilai c = 3 x 108 m/s maka :

Ek = EE0

Ek = (m – m0) c2

Ek = ((2,125 x 10-27) – (1,7 x 10-27)) x (3 x 108)2

Ek = (0,425 x 10-27) x (9 x 1016) = 3,825 x 10-11 Joule

Kesimpulan.

Jadi, energi kinetik proton tersebut sebesar 3,825 x 10-11 Joule.

  1. Sebuah elektron bergerak dengan kecepatan 0,8 c. Hitung energi diam, energi total, dan energi kinetik elektron tersebut dalam eV. ( c =  3 x 108 m/s, massa diam elektron = 9,11 x 10-31 kg)

Diketahui :

v = 0,8c

c = 3 x 108 m/s

mo = 9,11 x 10-31 kg

Ditanyakan :

Ediam, ETotal, Ek =…?

Jawaban :

  1. Energi diam

\( ​{ E }_{ 0 }={ m }_{ o }{ c }^{ 2 }\\ { E }_{ 0 }=\left( { 9,11\times10 }^{ -31 } \right) \times{ \left( { 3\times10 }^{ 8 } \right) }^{ 2 }\\ { E }_{ 0 }=\frac { 8,199\times{ 10 }^{ -14 }J }{ 1,67\times{ 10 }^{ -19 }J/eV } \\ { E }_{ 0 }=0,49MeV \)​​

  1. Energi total

Menentukan m :

\( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 9,11\times{ 10 }^{ -31 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,8c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { \left( 9,11\times{ 10 }^{ -31 } \right) }{ 0,6 } \\ m=1,52\times{ 10 }^{ -30 }kg \)​​

Dan energi total adalah :

\( ​E={ mc }^{ 2 }\\ E=\left( 1,52\times{ 10 }^{ -30 } \right) \times{ \left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) }^{ 2 }\\ E=\frac { 1,3665\times{ 10 }^{ -13 }J }{ 1,67\times{ 10 }^{ -19 }J/eV } \\ E=0,82MeV \)

  1. Energi kinetik

\( Ek=E-{ E }_{ 0 }\\ Ek=0,82-0,49\\ Ek=0,33MeV \)​​

Kesimpulan.

Jadi, energi diam elektron tersebut adalah 0,49 MeV, sedangkan energi total elektron tersebut adalah 0,82 MeV, dan energi kinetiknya adalah 0,33 MeV.

  1. Sebuah partikel dengan massa  mo diberi energi kinetik yang sama dengan setengah kali energi diamnya. Berapa cepatkah seharusnya partikel itu bergerak?

Diketahui :

\( Ek=\frac { 1 }{ 2 } E \)

Ditanyakan :

v =..?

Jawaban :

\( ​Ek=E-{ E }_{ 0 }\\ \frac { 1 }{ 2 } E=E-{ E }_{ 0\\ }\\ { E }_{ 0\\ }=\frac { 1 }{ 2 } E\\ { m }_{ 0 }{ c }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } { mc }^{ 2 }\\ { m }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } m \)​​

Dimana :

\( m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \frac { { m }_{ 0 } }{ m } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \)​​​

Maka :

\( ​\frac { { m }_{ 0 } }{ m } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { \frac { 1 }{ 2 } m }{ m } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,5=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,25=1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ v=\sqrt { 0,75 } c\\ v=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } c \)​​

Kesimpulan.

Jadi, partikel itu bergerak dengan kecepatan ​\( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } \)c.

  1. Energi total sebuah partikel adalah ​\( \frac { 5 }{ 4 } \)​kali energi kinetiknya. Berapa kecepatan partikel ini?

Diketahui :

\( E=\frac { 5 }{ 4 } Ek \)

Ditanyakan :

v =..?

Jawaban :

\( ​E=\frac { 5 }{ 4 } Ek\\ { mc }^{ 2 }=\frac { 5 }{ 4 } \left( { mc }^{ 2 }-{ { m }_{ 0 }c }^{ 2 } \right) \\ m=\frac { 5 }{ 4 } m-\frac { 5 }{ 4 } { m }_{ 0 }\\ \frac { 5 }{ 4 } { m }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 4 } m\\ 5{ m }_{ 0 }=m \)​​

Dimana :

\( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \frac { { m }_{ 0 } }{ m } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \)​​

Maka :

\( ​\frac { { m }_{ 0 } }{ 5{ m }_{ 0 } } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,2=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,04=1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ 0,96={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ v=\sqrt { 0,96 } c\\ v=\frac { 2 }{ 5 } \sqrt { 6 } c \)​​

Kesimpulan.

Jadi, kecepatan partikel ini adalah ​\( \frac { 2 }{ 3 } \sqrt { 6 } c \)c.

  1. Setiap detik di Matahari terjadi perubahan  4 x 109 kg materi menjadi energi radiasi. Bila kelajuan cahaya dalam vakum adalah  3 x 1010 cm/s tentukan daya yang dipancarkan oleh Matahari.

Diketahui :

Δm = 4 x 109 kg

c = 3 x 1010 cm/s = 3 x 108 m/s

Ditanyakan :

P =…?

Jawaban :

P = Δmc2

P =(4 x 109) x (3 x 108)2

P = 3,6 x 1026 W

Kesimpulan.

Jadi, daya yang dipancarkan oleh Matahari adalah 3,6 x 1026 watt.

  1. Elektron yang mula-mula diam dipercepat oleh potensial listrik sebesar 1,5 MV, hingga memperoleh energi 1,5 MeV. Tentukan kecepatan dan massa relativistiknya.

(me = 9,1 x 10-31 kg, e = 1,6 x 10-19 c )

Tips: Energi listrik = energi relativistik

Diketahui :

V = 1,5 MV

E = 1,5 MeV

me = 9,1 x 10-31 kg

e = 1,6 x 10-19 C

Ditanyakan :

v dan m =…?

Jawaban :

  1.  Kecepatan

Sesuai dengan tips yang diberikan bahwa Elistrik = Erelativistik, maka :

E = 1,5 MeV x 1,6 x 10-19 

E = 2,4 x 10-13 J

 Kemudian :

E0 = me c2

E0 = (9,1 x 10-31) x (3 x 108)2

E0= 8,19 x 10-14 J

Bila :

\( ​E={ \gamma E }_{ 0 }\\ E=\frac { { E }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \frac { { E }_{ 0 } }{ E } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { { 8,19\times10 }^{ -14 } }{ { 2,4\times10 }^{ -13 } } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,34125=\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ 0,11645=1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ 0,8835={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ v=\sqrt { 0,8835 } c\\ v=0,94c \)​​

  1. m

\( ​m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 9,1\times{ 10 }^{ -31 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,94c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ m=\frac { 9,1\times{ 10 }^{ -31 } }{ 0,34 } \\ m=2,67\times{ 10 }^{ -30 }kg \)​​

Kesimpulan.

Jadi, kecepatan elektron adalah 0,94c dan massa relativistiknya adalah 2,67 x 10-30 kg.

  1. Sebuah elektron memiliki energi total sama dengan lima kali energi diamnya.
    1. Berapa momentum elektron?
    2. Ulangi untuk proton

(Massa elektron = 9,1 x 10-31 kg ; Massa proton = 1,6 x 10-27 kg)

Diketahui :

Elektron dan proton :

E = 5 E0

me = 9,1 x 10-31 kg

mp = 1,6 x 10-27 kg

Ditanyakan :

  1. Pe
  2. Pp

Jawaban :

\( P=\frac { { m }_{ 0 }v }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

Tentukan v dari E = 5E0

\( ​​E=5{ E }_{ 0\\ }\\ \frac { { E }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } =5{ E }_{ 0\\ }\\ \frac { { E }_{ 0 } }{ 5{ E }_{ 0\\ } } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ 5 } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ 25 } =1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ \frac { 24 }{ 25 } ={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ v=\frac { 2 }{ 5 } \sqrt { 6 } c\\ v=0,98c \)​​

  1. Momentum Elektron

    \( ​P=\frac { { m }_{ 0 }v }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ P=\frac { \left( 9,1\times{ 10 }^{ -31 } \right) \times0,98c }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,98c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ P=\frac { \left( 9,1x{ 10 }^{ -31 } \right) \times0,98c }{ \frac { 1 }{ 5 } } \)​​

    Dengan nilai c = 3 x 108 m/s maka :

    \( ​P=\left( 9,1\times{ 10 }^{ -31 } \right) \times0,98\times\left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) \times5\\ P=1,34\times{ 10 }^{ -21 }kgm/s \)

  2. Momentum Proton

\( ​P=\frac { { m }_{ 0 }v }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ P=\frac { \left( 1,6\times{ 10 }^{ -27 } \right) \times0,98c }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,98c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ P=\frac { \left( 1,6\times{ 10 }^{ -27 } \right) \times0,98c }{ \frac { 1 }{ 5 } } \)​​

Dengan nilai c = 3 x 108 m/s maka :

\( ​P=\left( 1,6\times{ 10 }^{ -27 } \right) \times0,98\times\left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) \times5\\ P=2,35\times{ 10 }^{ -18 }kgm/s \)​​

Kesimpulan.

Jadi, momentum elektron tersebut adalah 1,34 x 10-21 kg m/s, sedangkan momentum proton tersebut adalah 2,35 x 10-18 kg m/s.

  1. Soal :
    1. Menurut fisika klasik, berapakah beda potensial yang diperlukan untuk mempercepat sebuah elektron (massa = 9,1 x 10-31 kg) dari keadaan diam menjadi 0,80 c ?
    2. Dengan beda potensial pada (a), berapakah kelajuan elektron menurut relativitas khusus ?

Diketahui :

me = 9,1 x 10-31 kg

v = 0,80c

Ditanyakan :

V dan v menurut relativitas khusus =…?

Jawaban :

  1.  Beda Potensial

    Elistrik = Erelativistik

    ​​\( eV=\frac { { E }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ \\ ​eV=\frac { { { m }_{ e } }c^{ 2 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ V=\frac { { { m }_{ e } }c^{ 2 } }{ e\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \)​​

    Dengan 3 x 108 m/s dan e = 1,6 x 10-19 C maka :

    \( ​V=\frac { \left( 9,1\times{ 10 }^{ -31 } \right) \times{ \left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) }^{ 2 } }{ \left( 1,6\times{ 10 }^{ -19 } \right) \times\sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,80 }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ V=\frac { 8,19\times{ 10 }^{ -19 } }{ \left( 1,6\times{ 10 }^{ -19 } \right) \times\sqrt { 1-0,64 } } \\ V=\frac { 511875 }{ 0,6 } \\ V=853125V\\ V=0,85MV \)​​

  2. Kelajuan menurut relativitas khusus

Ek = Erelativistik

\( ​\frac { { { m }_{ 0 } }c^{ 2 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } =eV\\ \\ \frac { { \left( 9,11\times{ 10 }^{ -31 } \right) }\times\left( 3\times{ 10 }^{ 8 } \right) ^{ 2 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } =\left( 1,6\times{ 10 }^{ -19 } \right) \times\left( 0,85\times{ 10 }^{ 6 } \right) \\ \frac { 8,19\times{ 10 }^{ -14 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } =1,36\times{ 10 }^{ -13 }\\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =\frac { 8,19\times{ 10 }^{ -14 } }{ 1,36\times{ 10 }^{ -13 } } \\ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } =0,6\\ 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }=0,36\\ 0,64={ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 }\\ v=\sqrt { 0,64 } c\\ v=0,8c \)​​

Kesimpulan.

Jadi, beda potensial yang diperlukan untuk mempercepat sebuah elektron adalah 0,85MV sedangkan kelajuan elektron menurut relativitas khusus adalah 0,8c.

  1. Tentukan energi yang diperlukan untuk mempercepat sebuah elektron (massa diam = mo) dari :
    1. 0,60c menjadi 0,80c
    2. 0,80c menjadi 0,96c

Nyatakan jawaban Anda dalam mo dan c

Diketahui :

Perubahan Kelajuan :

  1. 0,60c menjadi 0,80c
  2. 0,80c menjadi 0,96c

Ditanyakan :

E =…?

Jawaban :

  1. 0,60c menjadi 0,80c

    \( ​{ \gamma }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,60c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 0,8 } \\ { \gamma }_{ 1 }=\frac { 5 }{ 4 } \)​​

    \( { \gamma }_{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,80c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 0,6 } \\ { \gamma }_{ 2 }=\frac { 5 }{ 3 } \)

    Karena :

    \( E=\gamma { { m }_{ 0 } }c \)

    Maka :

    \( ​E={ E }_{ 1 }+{ E }_{ 2 }\\ E={ \gamma }_{ 1 }{ m }_{ o }c+{ \gamma }_{ 2 }{ m }_{ o }c\\ E=\frac { 5 }{ 4 } { m }_{ o }c+\frac { 5 }{ 3 } { m }_{ o }c\\ E=\frac { 35 }{ 12 } { m }_{ o }c \)​​

    Jadi, energi yang diperlukan adalah ​\( \frac { 35 }{ 12 } { { m }_{ 0 } }c \).

  2.  0,80c menjadi 0,96c

\( ​{ \gamma }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,80c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 0,6 } \\ { \gamma }_{ 1 }=\frac { 5 }{ 3 } \)​​​

\( { \gamma }_{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 0,96c }{ c } \right) }^{ 2 } } } \\ { \gamma }_{ 2 }=\frac { 1 }{ \frac { 7 }{ 25 } } \\ { \gamma }_{ 2 }=\frac { 25 }{ 7 } \)

Karena :

\( E=\gamma { { m }_{ 0 } }c \)

Maka :

​​\( ​E={ E }_{ 1 }+{ E }_{ 2 }\\ E={ \gamma }_{ 1 }{ m }_{ o }c+{ \gamma }_{ 2 }{ m }_{ o }c\\ E=\frac { 5 }{ 3 } { m }_{ o }c+\frac { 25 }{ 7 } { m }_{ o }c\\ E=\frac { 110 }{ 21 } { m }_{ o }c \)

Jadi, energi yang diperlukan adalah ​​\( \frac { 110 }{ 21 } { { m }_{ 0 } }c \)​​.

, ,

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert